前に出した質問
f(x,y)=√{(1+x)/(1+y)}を(0,0)でTaylor展開せよ。(n=3)
を投稿しアドバイスをもらって答えを3と出したんですが、あっているのか不安です。
教えてください

A 回答 (3件)

C(r,0)=1 (r:実数)


C(r,n)=(Π(k=0~n-1)・(r-k))/n! (r:実数,n:自然数)
とすると
√(1+x)=Σ(n=0~∞)・C(0.5,n)・x^n
1/√(1+y)=Σ(m=0~∞)・C(-0.5,m)・y^m
であるから
√((1+x)/(1+y))=
Σ(n=0~∞,m=0~∞)・C(0.5,n)・C(-0.5,m)・x^n・y^m
である
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答が3ってことはないですぜい。



元来、連続関数を多項式で近似するための方法ですから、Taylor展開は必ず多項式になる。それも(「f(x,y)が元々多項式だ」という場合を除けば)無限個の項がある多項式になります。たとえば
1+(1/2)x-(1/2)y-(1/8)(x^2)-(1/4)xy+(3/8)(y^2)+(1/16)(x^3)+(1/16)(x^2)y+(3/16)x(y^2)-(5/16)(y^3)+....
こんな感じです。
この無限個の項を持つ多項式は、x,yが0に近いとき、x^10なんてのはほとんどゼロだから、次数が低い項以外を無視して(打ち切って)近似式として使える訳です。n=3というのは何次の項までで打ち切るか、の指定です。

多項式の係数の求め方は既に回答されていますが、もうちょっとやってみましょ。この問題の場合xとyは独立(互いに無関係)と考えて良い。すると
f(x,y)=√{(1+x)/(1+y)}
の場合はとりわけ簡単。というのも、xに関する部分とyに関する部分の積にきれいに分けられるからです。すなわち
g(x)=√(1+x)
h(y) = 1/√(1+y)
とすると
f(x,y) = g(x) h(y)
である。

そこでまず、
g(x)=√(1+x)
のx=0でのTaylor展開
g(x) = g(0) + g'(0)x/(1!) + g''(0)(x^2)/(2!) + g'''(0)(x^3)/(3!) + ....
の係数を具体的に求めるために、gの一階微分から三階微分まで計算してみると
g'(x)=(∂g/∂x)=(1/2)((x+1)^(-1/2))
g''(x)=((∂^2)g/(∂x)^2)=-(1/4)((x+1)^(-3/2))
g'''(x)=((∂^3)g/(∂x)^3)=(3/8)((x+1)^(-5/2))

従って、g(x)は
g(x) = 1 + (1/2)x - (1/8)(x^2) + (1/16)(x^3) + ...
とTaylor展開されます。
だから
f(x,y) = (1 + (1/2)x - (1/8)(x^2) + (1/16)(x^3) + ...)h(y)
となる。
今度は
h(y) = 1/√(1+y)
を同様にやってみる。そうすると、
h(y) = 1 - (1/2)y +.....
と展開され、従って
f(x,y) = (1 + (1/2)x - (1/8)(x^2) + (1/16)(x^3) + ...)(1 - (1/2)y +.....)
の右辺を展開して、必要のない高次の項を削れば答が得られる。

 なお滑らかな関数の近似法としてのTaylor展開は案外強力で、例えばsin xのx=0におけるTaylor展開
sin x = x-(1/6)(x^3)+(1/120)(x^5)-(1/5040)(x^7)+(1/362880)(x^9)-(1/39916800)(x^11)+...
は、この程度の項数でも |x| ≦π での最大誤差が1/2300 程度、|x| ≦π/2 なら僅か1/18000000程です。
Excelでも使ってグラフを描いてみると面白い。
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以前、



2変数のテイラー展開は、
(0,0)で展開するとして
f(x,y)=f(0,0)+∂f(0,0)/∂x*x+∂f(0,0)/∂y*y+(以下x,yの2次以降も同様)

と回答しました。これを実行すれば、答えが3というただの数にはならないはずです。

f(0,0)=1
∂f(x,y)/∂x=1/(2*√{(1+x)*(1+y)})
だから
∂f(0,0)/∂x=1/2
∂f(x,y)/∂y=-1/(2*(1+y)+√{(1+x)*(1+y)})
だから
∂f(0,0)/∂y=-1/2
・・・・・・・
となり、
n=1では、
f(x,y)~1+x/2-y/2
となります。
n=2では、
f(x,y)~1+x/2-y/2
+∂^2f(0,0)/∂x^2*x^2+
2*∂f(0,0)/∂x*∂f(0,0)/∂y*x*y
+∂^2f(0,0)/∂y^2*y^2
となります。
n=3では、新たに、
x^3,3*x^2*y,3*x*y^2,y^3
の項が加わります。
一般のnについては、
f(0,0)
~Σ(k=0,n)nCk*∂^kf(0,0)/∂x^k*∂^(n-k)f(0,0)/∂y^(n-k)*x^k*y^(n-k)
だと思いますが、教科書で確かめてください。
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