なぜ正方形？？

すべての辺の長さを足して20センチの正方形と長方形があります。どちらの面積が大きいか？という問題で、答えは正方形なんだそうです。
数字的に計算すれば正方形だとはわかるのですが、なぜ正方形の方が大きいのかがわかりません、教えて下さい。。。

No.17 回答者： emiyasadahito 回答日時： 2012/02/05 03:50

No.8さんとNo.12さんとほぼおなじかとおもいますが。

数を少なくして
1平方センチのタイル4枚で考えたら
外周8センチ、4平方センチの正方形で

1枚欠けたらいままで外周の内側で使っていなかった残り三枚の
内側だった２辺を外周として使うことができるので
除外された１平方センチの面積だけが消えたような錯覚のような
感じを受けるのだと思います。（欠けただけでは方形ではありませんが。）
タイル3枚直線に並べても内辺は２つでおなじことですよね。
僕もこれはずーっと意味が腑に落ちませんでした。

外周が同じで正方形の辺の内辺の値が大きいほど効率よく最大の面積を稼げるってことなんですね。
方形でない場合は正円の直径が内辺に当たるんですかね。
だらだらとすみません。

No.16 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2009/01/18 16:37

5*5（正方形の面積）と(5-a)*(5+a)（長方形の面積）を比べます。

(5-a)*(5+a)=5*5-a*a≦5*5

No.15 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/08/30 07:45

#13の回答者です。

途中で、つまらないミスをして見難くなったので、書き直し、
最後の部分を、ちょっと言い換え、分かり易くします。

四角形の長さの平均は、二つの辺の長さを a、b とすると (a+b)/2 です。
一方面積は、√(a×b) で、これは常に長さの平均より大きくないのです。
（つまり小さいか、等しい）
式で書くと、(a+b)/2=>√(a×b)

両辺を自乗すると、式は簡単になります。
{(a+b)/2}^2=>a×b
左辺は、(a^2+b^2)/2+a×b で、(a^2+b^2)/2>0 なので当然成立する式です。

大事なのは、等しい時です。
a=b のときだけ、この式は等号になります。
つまり、a、b がいろんな値を取って、(a+b)/2 が与えられた値に
なるようにした場合、a≠b である限り決してその値に等しくならない ab、
つまり面積が、a=b の場合に限って、その値になるのです。
従って、a=b のとき、正方形となる時に面積が最大になるのです。

No.14 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/08/30 00:02

#13の回答で、「a^2+b^2+2×a×b」 とすべきところ、2×a×b の2を抜かしていました。

訂正いたします。
「a^2+b^2+a×b」を「a^2+b^2+2×a×b」と読み替えてください。
（ああ恥ずかしい！）

No.13 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/08/29 22:59

四角形の長さの平均は二つの辺を a、b とすると

(a+b)/2 ですね。これは常に √(a×b) より小さくないのです。
（つまり大きいか、等しい）
式で書くと、(a+b)/2=>√(a×b)
√(a×b) は、面積の平方根です。

両辺を自乗すると、式は簡単になります。
{(a+b)/2}^2=>a×b

これは、当たり前のことを示す式ですよね。
左辺は、a^2+b^2+a×b ですから。

大事なのは、等しい時です。
a=b のときだけ、この式は等号になります。
つまり、a、b がいろんな値を取って、(a+b)/2 が与えられた値に
なっても、a≠b である限り、決して a×a、あるいは b×b に等しく
なることはないのです。

つまり、正方形である場合、面積が最大なのです。

No.12 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2006/08/29 22:20

あえてなるべく非数学的な表現を使って説明します。

正方形を切り張りして周の長さが同じ長方形を作ると
必ずあまりができることを説明できればいいわけですね。

まず正方形の上の辺からちょこっと幅を切ります。
これをくるっと90度反転して、横からぴっとつけると、
ぴたっと合わずに、ぴょこんとはみ出る部分があるので、
このぴょこんと部分を、ぺきっともぎ取れば、長方形ができます。
この長方形、最初の正方形より縦は最初切ったちょこっと幅分
小さく横はちょこっと幅分大きいので縦横の合計は変わってない
ため、周の長さは同じです。これで周の長さが同じ長方形ができ、
もぎ取ったぴょこんと部分の面積だけあまりができます。
以上から正方形が一番でかいです。

No.11 回答者： Quattro99 回答日時： 2006/08/29 16:59

「1辺が5センチの正方形」と「その正方形より縦はaセンチ短く、横はaセンチ長い長方形」を重ねてみてください（どこかの頂点と辺を合わせる）。

それぞれの面積は重なった部分と重なっていない部分に分けられますが、重なった部分は当然同じ面積ですから、重なっていない部分を比較してみます。
正方形側の重なっていない部分は、「a*5」平方センチで、長方形側の重なっていない部分は、「a*(5-a)」平方センチです（要するに同じ幅で長さが違う）。

図示できないのでわかりにくいと思いますが、グラフの原点O(0,0)と点A(5,5)を対角とする正方形に対して、点Aをx+y=10となるように動かして長方形を作る場合を考えると、増える部分より減る部分の方が大きいということです。

No.10 回答者： nekochari 回答日時： 2006/08/29 02:54

計算すれば分かるということですので、気分的というか感覚的な問題ですね。

　極端な例を考えてみましょう。
　縦が０センチ、横が１０センチ。長方形にはなっていませんが、ちょっと大目にみてもらいましょう。これはもちろん、面積０というのは計算するまでもありませんね。
　少し縦を増やしてみます。縦が１センチ、横が９センチ。面積は９平方センチになりました。
　もう少し縦を増やしてみます。縦が２センチ、横が８センチ。面積は１６平方センチになりました。
　縦が増えて長方形が「ふくらんでいく」と面積が増えていきますね。
　さて、ここで、どんどんそれを進めていった最後を考えてみます。
　縦が１０センチ、横が０センチ。今度は長方形が縦棒になってしまいました。面積０。
　その少し手前は、縦が９センチ、横が１センチ、面積は９平方センチ。

　縦０から始めて縦１０まで行くと、面積は始め０から始まってどんどん大きくなるけれども、最後はまた０になるから、何処かで面積が小さくなり始める。では、どこが最大でしょうか？
　丁度両極端の真ん中の時、つまり縦＝横の時、というのが直感できませんでしょうか？？
　直感が正しいかどうかは、計算で確かめる、ということになりますけれど、既に確かめられてますので、これでOKですね。

No.9 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/08/28 21:17

＞計算すれば正方形だとはわかる

ということですので、イメージでつかみたいという意味だと理解して、

20センチのひも（針金でも良い）で四角形をつくってできるだけ大きい面積をつくると考えればよいでしよう。
たて1センチ、横9センチなら面積はあまり大きくない。
「できるだけ中央によっていた方が効率が良い」ということで正方形になります。

形にこだわらなければ、一番中央に近い形で「円」が一番大きな面積になります。

No.8 回答者： geyan 回答日時： 2006/08/28 20:50

みなさんいろいろと回答されているので、まったく別な観点から回答してみます。

１cm角のタイルがあるとします。
このタイルを25個使って正方形になるように敷き詰めたものが
１辺５cmの正方形です。
ここで、辺の長さに関係しているタイルの数を数えると16個で、
関係していないタイルの数は９個です。

今度は、縦が４cm、横が６cmの長方形となるようにタイルを敷き詰めます。
先程と同じように、タイルの数を数えます。
すると、辺の長さに関係しているタイルの数はやはり16個、
しかし、関係していないタイルの数は８個となっています。

同じようにやっていくと、辺の長さに関係しないタイルの数が減り、
縦１cm×横９cmの長方形では、全てのタイルが辺の長さに関係し、
関係していないタイルはありません。

つまり、辺の長さに関係していないタイルの数によって面積の大きさが変わっているわけです。

この説明はどうでしたか。