
円と球の内部の格子点についてですが。
格子点とは座標系において、その値が整数であるような点のことです。たとえば、二次元平面(xy平面)では、(1、1)や(2、1)といった点を指し、(1.2、2.5)といった少数や分数となるような点は格子点ではありません。
問題はここからです。
xy平面において、原点中心、半径rの円を考えたとき、その内部に含まれる格子点の数をSrとする。ここで、rは正の整数とする。(例えば、単位円(r=1)の場合、条件を満たす格子点は(0,0)、(0,1)、(1,0)、(-1,0)、(0 ,-1)であるからS1=5である。)
Srを求めよ。これはもちろんrの関数になります。
次に、xyz座標空間になったとき、原点中心、半径rの球を考えたとき、その内部に含まれる格子点の数をVrとする。Vrを求めよ。
Vr/Sr をn→∞としたときの値を求めよ。
おそらく、これは発散するかと思います。SrやVrの求め方はおそらく区分求積法、法則性を見つけ出す(数列の漸化式を解く)方法かとも思うんですが、よくできないので、教えてください。
また、この極限値の問題はnC2 と nC3 に関係があるかと思います。
できれば、ヒントだけでなく、「答え」を教えてもらえるとありがたいです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Sr や Vr を r の式で表示するのは、難しそう。
lim[r→∞] Sr/(πr^2) = 1 と
lim[r→∞] Vr/{(4/3)πr^3} = 1 を示すのは、
それぞれ、円と球との求積そのもの。
円を正方形で、球を立方体で、覆うことを考えよう。
そこから、lim[r→∞] Vr/Sr の発散は言える。
この回答への補足
>lim[r→∞] Sr/(πr^2) = 1 と
lim[r→∞] Vr/{(4/3)πr^3} = 1 を示すのは、
それぞれ、円と球との求積そのもの。>
がよく言ってる意味がわかりません。
自分なりに考えてみた結果、
まず、円の場合、これは円の面積に帰着します。r=1の場合はただ単に軸に乗っている格子点だけなので、Sr=5
r≧2の場合は、面積に対応した格子点を考える。軸にのっているものと、乗っていないものを分けて考えると、軸によっているものは、原点を除くと、r×4個あります。これは簡単。それで原点を入れれば、(4r+1)個になります。次に軸に乗ってないものだが、面積に対する個数の対応で、例えば、半径2の場合、x>0、y>0では(1、1)のみであり、半径3の場合、(1、1)(1、2)(2、1)(2、2)の4点である。つまり、rにおける単位面積に相当する(正方形の面積といってもいいし、円の面積といってもよい)。だから、この個数Mは
M=(r-1)^2 ^2は二乗を意味します。
であり、第一象限に限らず、4象限で考えると4倍すればよい。以上を考慮して、
Sr=4(r-1)^2+4r+1 (r≧2)
これで正しいと思うんですが。。。
つづいて、三次元の場合、円の場合。同様に単位立法体を考える。もちろん、軸にのっているもの、のってないものを別々に数える。r=1の場合は簡単で、7個です。
r=2の場合は一辺が2の立法体を考え、その頂点と、各辺に乗っている点を数えれば、軸にのっている点は除かれます。だから、頂点は8だから8×1個、その間は1個あり、辺は全部で12つだから、12×1個。
軸に載っているものは、7個だから、全部で
8+12+7=27個である。 V2=27
r=3の場合は、立方体の表面を考える。1つの表面がSrにあたる考えればよく、面が6つあるので、6Srとすればいいのですが、頂点を3回重複して数えているので、-4×2
よってV3=6×S3 -8 +S2
以上から、
Vr=6×Sr+S(r-1) -8 (r≧3)
であるとわかる。これをとけば、Vrが求まるが、私はこれを解けない。。。
Vr/Sr をn→∞としたとき(あっ、nじゃなくrですね)r→∞のとき、もちろん∞に発散する。
こんな感じであってますかね?
No.2
- 回答日時:
> Sr=4(r-1)^2+4r+1 (r≧2)
> これで正しいと思うんですが。。。
半径が 4 の場合、第一象限の格子点は
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2)
の 8 個で、M = (4-1)^2 が早くも成り立たない。
No.1 に書いた「円を正方形で、球を立方体で、覆う」は、
π (r - 1/√2)^2 < Sr < π (r + 1/√2)^2
という意味だけど。
この式の r ± 1/√2 に出てくる 1/√2 は、
一辺 1 の正方形の中心から頂点までの長さ。
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