なぜ正方形？？

すべての辺の長さを足して20センチの正方形と長方形があります。どちらの面積が大きいか？という問題で、答えは正方形なんだそうです。
数字的に計算すれば正方形だとはわかるのですが、なぜ正方形の方が大きいのかがわかりません、教えて下さい。。。

No.7 回答者： NIWAKA_0 回答日時： 2006/08/28 20:26

こちらに。

参考URL：http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=2333326

No.6 回答者： poohron 回答日時： 2006/08/28 20:20

すべての辺の長さを足して20センチだから、

正方形の一辺の長さは5cmです。
当然、正方形の面積は5×5＝25平方センチ。

長方形の辺の長さは、a>0とすると、
長辺は(5+a)cm、短辺は(5-a)cm。
（正方形の一辺をaセンチ長くすると、となりの一辺はaセンチ短くなる。
だって、辺の長さの合計は20cmで固定だから。）

ということは、長方形の面積は
(5+a)×(5-a)平方センチ。
これを計算すると、(25-a^2)平方センチ。
a>0ですから、もちろん(a^2)>0。

つまり、長方形の面積は25平方センチ（正方形の面積)よりも必ず小さくなるのです。

No.5 回答者： kaduno 回答日時： 2006/08/28 20:20

皆さんの書かれている回答と殆ど同じなのですが、微積分と習っていらっしゃらないのでしたら、１辺の長さを"ｘ"として、面積を"ｙ"としてグラフを作成し、その作図？によって視覚的に理解するのが一番早いと思いますよ。

"ｘ"の範囲は０～１０で、山なりのグラフが描けると思いますので、その頂点(ｙ＝面積)での"ｘ座標"を見てください。

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2006/08/28 20:15

Ｓ＝a(10-a) ですよね？　a,10-a は長方形の二辺です。

これの最大値は a=5 のときだということを証明すればいいわけです。これでもう全部教えてしまったに等しいかな？(^_^;)

No.3 回答者： volveive 回答日時： 2006/08/28 20:12

ご質問の方は中学生（２～３年かな）以上でしょうか。

であれば、数学的な説明としては、関数により最大値を求めることでできます。

いっぺんの長さを x （0<x<10）とすると長方形の面積は
S=x*(10-x)
= -x^2 + 10x
= -1 (x-5)^2 + 25

となります。微分がわかれば、S を f(x) として微分し、x=5 で極大になることが計算で出ますが、そうでなくとも二次関数のグラフが欠ければ、ｙ=-x^2+10x のグラフが、x=5 で頂点（面積が一番大きくなる）ことを確認できるでしょう。

まったくの、未習範囲でしたら、ゴメンナサイ。

No.2 回答者： 245689731 回答日時： 2006/08/28 20:02

あまりこういった回答は苦手なのですが、円周２０ｃｍの円形の面積を計算して下さい。

正方形より驚きの結果が出ると思います。

No.1 回答者： nonestyle 回答日時： 2006/08/28 19:57

正方形の場合、20ｃｍという規定がありますから

一辺の長さは５ｃｍと決められます。そこで、面積をもとめると
５×５＝２５となって、面積は２５平方ｃｍとなります。
しかし、長方形の場合は、
縦を３ｃｍ、横を７ｃｍと仮にそうすると、
まず縦の辺は３＋３で６、横の辺の７＋７で１４、６＋１４は２０ですから、これで、規定の２０ｃｍになっていますよね。ここで、面積のもとめかたである「縦×横」をやってみると、
３×７＝２１となって、正方形よりも面積は小さくなります。
ほかにも
４×６＝２４、２×８＝１６、１×９＝９となるように、正方形の方が、すべての辺を足してと規定がある場合には、長方形よりも面積は大きくなるということになります。