数列の漸化式

数列の漸化式のひとつの
a1＝a　an+1＝pan＋q
という場合は
an+1－c＝p（an－c）
としてcの値を求めますが、さっき問題を解いていて気付いたのですが、cの値を求める時に、an+1とanをcに置き換えて
c＝pc＋qとして方程式を解くとcの値が求まってしまうのですがなぜですか？
５問位やって確かめたので偶然ではないと思うのですが。学校の教科書にも載っていません。

No.4 ベストアンサー 回答者： zono7 回答日時： 2006/08/30 15:09

＃３の方が言われるとおり，質問者さんのが作った方程式は，特性方程式と言います。

漸化式を解くときには一般的な方法です。

ただし，この方法でなぜｃが求まるのかは，確かまだ証明されていないはずです。つまりは，もしかすると特性方程式では求められないｃがあるかも知れない。なので，現在のところは，特性方程式はｃを見つけるための目安としてしか使えません。あくまで，「こうして求めた解が，ｃに当てはまりやすい」という扱いです（もちろん，普通は特性方程式の解がｃです）。
なので，「これで解きなさい」というように教科書に載せることはできないのでしょう。だから，教科書としては，「偶然」当てはまるｃを見つけるしかない，と。タテマエとホンネですね。

厳密なことを言えば，解答用紙に「特性方程式より，ｃを求めて・・・」と書くのもダメ。an+1＝pan＋q から，いきなり　an+1－c＝p（an－c）と，変形してしまうのです。特性方程式は，解答用紙の隅っこでちょこちょこっとやって消す・・・。

自分で特性方程式のルールを見つけ出すとは，かなり素晴らしいですね。

No.6 回答者： aiueo95240 回答日時： 2006/08/31 01:27

他の方の回答で、収束先、特性方程式という概念で説明することは適切でないと思います。

線形性、特殊解というキーワードで説明すべきです。

No.5 回答者： masuda_takao 回答日時： 2006/08/30 20:04

　「収束する」ことを証明しなくても、以下のように理解すればよいでしょう。

|p| ＞ 1 の時にも、p, q が複素数の場合でも使える議論なので、便利だと思います。

　数列 {a_n} の初項 a_1 の値が仮に定まっていないものとして、漸化式：
a_{n+1} ＝ p・a_n + q　...[1]
...を満たす数列の全体を考えます。
　さて、ある定数 c が存在して
c ＝ p・c + q　...[2]
...を満たすとき（１次方程式なので、p ≠ 1 なら解が存在する）、おなじみの計算（[1] - [2]）から
a_{n+1} - c ＝ p・(a_n - c)
...を経て
a_n ＝ c + p^{n-1}・(a_1 - c)　...[3]
...を得ますね。

　もし、ここで漸化式 [1] を満たす数列の初項 a_1 の値が c だったとしましょう。その場合、[3] から分かる通り、全ての自然数 n に対して a_n ＝ c ですね。
　というわけで、漸化式 [1] を満たす数列の中で、n に関係なく一定であるようなものがただ１つ存在するわけです。
　それを決める式が [2] であるというわけです。

No.3 回答者： postro 回答日時： 2006/08/30 11:18

an+1＝pan＋q

c＝pc＋q
辺辺引き算すると
an+1－c＝p（an－c）
となりますよ。
c＝pc＋q　←これって「特性方程式」って立派な名前がついています。

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/08/30 10:36

「an が c に収束する」と仮定すれば、その解き方で c が求まります。

しかし、収束することを証明しないと正しく解いたことになりませんね。その証明が面倒だから教科書や参考書に載っていないんでしょう。

答えの見当をつけるのには良い方法と思います。

No.1 回答者： lile 回答日時： 2006/08/30 10:08

なぜかは分りませんがその様になると覚えています。

教科書には載っていないのですか？
回答にはなりませんが、私は先生にその様にならいましたよ。