図が描けないのでなんとも説明が難しいのですが、円の切れ端の面積の
計算方法を教えてください。半径400mmの円があります。
その中心に直線を引くと半分の面積の計算は分かりますが、それでは中心から少しずれたところに水平の線を引いて(図でみた場合中心から少し上でも下でもいいですが)その面積の計算方法が分かりません。
何年か前に微分で求めるとかいうのをテレビでみたのですが、私は微分なんかに全く縁が(円が)ありません。しゃれてる場合じゃありませんが。
確か、誤差は限りなく0であるからどうのこうのと言ってました。
どなたかお分かりの方おりましたら、数学落ちこぼれに分かるような
説明をしていただけませんでしょうか。興味半分の質問ではなくて仕事で使います。どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

エクセルの計算式で表すと



=400^2*ACOS(x/400)-x*SQRT(400^2-x^2)

です。x=100 の場合の計算結果は

172168.738 (mm2)

となりました。
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この回答へのお礼

教えてもらう立場で贅沢言ってすみませんでした。
計算順序が間違っていたようで苦労しましたが、やっとエクセルの計算結果が一致しました。この式は大切に保管させていただきます。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/03/28 06:02

下での回答の式に、r=400(mm)、a=100(mm) を代入すると、


 S= 400^2・Arccos(100/400) - 100・√(400^2-100^2) (mm^2)
  = 400^2・1.31811 - 100^2・√15
  = 172168
  ≒ 1.72×10^5 (mm^2)
となりました。
有効桁数は 400(mm) などに合わせて3桁としています。

>エクセルで計算する場合、√はなにを使えばいいのでしょうか。
私はエクセルは使わないので間違っているかもしれませんが、
sqrt ではないでしょうか?
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この回答へのお礼

guiterさんどうもありがとうございました。
途中の計算方法も書いていただいて大変助かりました。
苦労しましたがお陰さまで計算結果が一致しました。
教えていただいた式は大切に保管します。
それにしても世間には頭のいい人がいるんですね。
家の馬鹿息子の家庭教師に迎えたいくらいです。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/03/28 06:38

円の中心からx(mm)離れたところに直線を引いた場合の面積は、



400^2・cos^-1(x/400)-x・√(400^2-x^2) (mm2)

cos^-1はcosの逆関数(アークコサイン)のことです。
√は後ろの括弧全体にかかっています。
^2は2乗のことです。

仕事で使われるということなので、この式に数値を当てはめて関数電卓などで計算できると思います。

この回答への補足

MSZ006さんありがとうございます。
マシントラブルで返事が遅れましたことお詫びします。
エクセルで計算する場合、√はなにを使えばいいのでしょうか。
アークコサインは見つかりましたが√がわかりません。
お手数ですがよろしくお願いします。
100mm離れたところに線を引いた場合の答えも教えていただけると
大変助かります。

補足日時:2002/03/27 03:25
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C_ran さんの仰るように扇形から三角形を引き算するか


あるいは積分を用いて求めると

S = r^2 * Arccos(a/r) - a√(r^2 - a^2)

となります。
ここで、r^2 は半径 r の2乗、a は円の中心と中心からずれたところにひいた直線の距離、
θ = Arccos(a/r)とすると cosθ = a/r です。
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考え方を一つ。


ずれた直線に平行で中心点を通る直線を引く。
ずれた直線の端と中心点を直線で結ぶ(2本)
この図形を見ると、半円と扇形2つと二等辺三角形になりますよね?
ココから答えは出せるのでは?
ずれた直線の長さが解る場合のみこの方法で解けるのですけどね…
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この回答へのお礼

C_ranさん、びっくりしました。
この考えが浮かんでいたら私にも解けたはずで、ちょっと悔しいです。
昔習った「補助線を引いて・・・」というやつですね。
C_ranさんのヒントを元に、2つの扇方と半円の面積の合計を角度から求めて(角度/360)その値から二等辺三角形の面積を引いてもできそうです。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/03/27 04:09

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以前知り合いが球体の面積と体積について、「球体が何個か集まって面積が5倍になっても体積は5倍にならない」と言っていました。
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Aベストアンサー

No.1一応補足。
No.1は一つの球体としての仮定です。

>ごろごろと球体があるだけではなく、5つの団子をくっつけて1つの団子にした場合というニュアンスだったと思います。
この場合「点」ではあれど、球と球は「接触」しており、この部分は「表面積」からは場外されます。
その為、接触状態の表面積は球5個が独立して存在する場合の表面積の合計より極小ながら少なくなります。
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回答&解説をよろしくお願いします。
_(._.)_

Aベストアンサー

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

半径rの円周の長さの公式は2πrなので、半径6の円の円周は、2π×6。S1はこれに高さ8をかける。

S1=2π×6×8=92π。

半径rの円の面積の公式はπr2乗なので、半径6の円の面積は、π×6×6.V1はこれに高さ8をかける。

V1=π×6×6×8=228π。

3)
高さ6cm、底面の半径が8cmの円錐になる。

S2は円錐を展開した場合の扇型の面積。

半径r、母線lの円錐の、扇形の面積はπlr。

円錐の母線の長さは辺ACなので10。底面の半径は辺ABなので8。

S2=π×8×10=80π。

V2は円錐の体積。

半径rの円が底面、高さhの円錐の体積は、1/3×πr2乗h。

高さは辺BCなので6。底面の半径は辺ABなので8。

V2=π×8×8×6÷3=128π。

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

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Qx軸に平行な2本の直線で、円の面積を半分に分ける

数学の質問です。

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円全体の面積(πr^2)の半分になるためには、
kの値をどのようにとればよいでしょうか。

自分で解いてみましたが、「 k = ~」といったきれいな形の答えを出せずにいます。
解法の分かる方、アドバイスをお願いします。
(申し訳ありませんが急ぎですので早めにご記入いただけると大変助かります)
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

積分を使わない解法です。

ご質問の円の図はx軸に対称なので、真ん中の部分の面積が円全体の半分であれば、
円のうちy=kより上の部分の面積は円全体面積πr^2の4分の1、つまり(πr^2)/4 になります。

添付した図の角をθ(ラジアン)としますと、円のうちy=kより上の部分の面積は
扇形の面積から二等辺三角形OABの面積を引いたものです。
(図は簡単にするためr=1の場合です)

扇形の面積は円の面積×扇型の中心角/2π
二等辺三角形OABの面積は(1/2)×半径^2×sin(頂角) なので

πr^2×θ/2π-(1/2)r^2×sinθ=(πr^2)/4 が成り立ちます。
両辺をr^2で割って2倍し整理しますと

θ-sinθ=π/2

この方程式は見かけは簡単ですが解くのは簡単ではなく、
ご質問の通り、最終的にk=…というきれいな形にはなりません。
エクセルのゴールシーク機能を使って近似解を求めますと
θ≒2.3095 となりました。

さらに逐次近似法で計算しますと
θ≒2.30988 になりました。 (円周:360度=2π よりθは264.69度くらい)

求めるy=k の式で kの値はk=rcos(θ/2) なので 
求める2直線は y≒±0.404r くらいです。

積分を使わない解法です。

ご質問の円の図はx軸に対称なので、真ん中の部分の面積が円全体の半分であれば、
円のうちy=kより上の部分の面積は円全体面積πr^2の4分の1、つまり(πr^2)/4 になります。

添付した図の角をθ(ラジアン)としますと、円のうちy=kより上の部分の面積は
扇形の面積から二等辺三角形OABの面積を引いたものです。
(図は簡単にするためr=1の場合です)

扇形の面積は円の面積×扇型の中心角/2π
二等辺三角形OABの面積は(1/2)×半径^2×sin(頂角) なので

πr^2×θ/2π-(1/2)r^2×sinθ=(πr^2)/4 が成...続きを読む

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2年ぐらい前に私が投稿した回答文をご参照ください。
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それを緯度θで積分すれば、すべての円周の合計、すなわち、球の表面積になります。

球の表面積を半径rの方向に積分すれば、球の体積になります。


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球の中心を原点とした極座標(r,θ,φ)で考えるとき、

体積をrで微分すれば、表面積。
(体積は4πr^3/3、表面積は4πr^2 ですから、合ってますよね?)

表面積を緯度θで微分すれば、ある緯度θにおける1周の経線の長さ(1つの円周の長さ)。


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Q円の面積と三角関数の微分法の関係

私は高3なんですが、今、AO入試の準備で
三角関数の極限の基本公式
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そのときに面積を用いた証明は、
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循環論法になってしまうと…
ここでなぜ、
三角関数の微分法を用いて円の面積(半径をrとして)
πr^2
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Aベストアンサー

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 ∫[x=0~r]ydx=∫[x=0~r]√(r^2-x^2)dx
ここでx=rsinθ(rcosθでもいいです)とおき,変数xをθに変換すると,
 θ=0~π/2
 dx=rcosθdθ
 √(r^2-x^2)=√(r^2-r^2・sinθ^2)
       =r√(1-sinθ^2)
       =rcosθ
となるので,結局もとの面積は
 ∫[θ=0~π/2]r^2cosθ^2dθ
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 πr^2/4
となります。これが4分の1の面積ですから円全体ではπr^2となります。


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