同一円弧上の座標を求めたいのですが…

同一直線上の座標（http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2432311）で質問したものですが、今度は同一円弧上の座標で悩んでおります。
どなたかお知恵をおかしください。

---　質問内容　---

数学的な事がまったく分からないので、質問の文章もおかしいかもしれませんが、よろしくお願いします。
できれば、わかりやすく簡単な公式があれば助かります。

平面において、同一円弧上にある２つのポイントＡ，Ｂの座標、円弧の半径（または直径）、ＡＢの弧の長さが分かっている場合、同一円弧上に新たに設けたポイントＰの座標を求めるにはどうすればよいですか？
Ｐの位置はその都度変化し、そのときのＡとＰの弧の長さまたは、ＢとＰの弧の長さのどちらか一方が分かるという条件です。

よろしくお願いします。

No.10 ベストアンサー 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/09/28 16:39

絵の上に分度器置いて考えてみてください。

X軸とOBのなす角度からX軸とOAのなす角度を引けば済むことです。

この回答へのお礼

今回もありがとうございました。
お蔭でプログラムを組むことが出来そうです。

お礼日時：2006/09/29 08:51

No.11 回答者： take_5 回答日時： 2006/09/28 19:32

質問者は全く理解できないようですが、常に次の関係が成立します。

半径をr、中心角をθとする扇形の弧の長さをＬとしたとき、Ｌ＝r*θ　‥‥‥(1)　が成立する。

貴方が出された問題について、あなた自身が

＞円弧の半径（または直径）、ＡＢの弧の長さが分かっている場合、

と書かれていますので、Ｌとrが決まっているわけですから(1)において当然θは一定です。


皆さんが書かれている内容を素直に理解したほうがいいです。
この問題に対しての私の書き込みは、これを最後にします。

No.9 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/09/27 21:55

>「正の方向から測った回転角」というのはどのような意味ですか？

これは、皆さんが角度といわれているものです。

うまく図では示せませんが、右の図は ∠) と いう風に 　　　　　　・「例:ポイントB」
描いている積りです。原点からX軸の正の方向と　　　　　 　　／ ↑
描いた線から矢印の方向（時計と逆向き）に 　　　　　　 　／ 　 　　↑
「例:40度」回転した方向に「例:ポイントB」 　　　　　　　／　　　　　　　↑
がある場合です。このとき「例:ポイントB」 　　　　　　／　　　 　　　　　　↑
の座標は、原点から「例:ポイントB」の　　　　　　 ／ 　「例:ポイントP」 ・
長さをrとすると、　　　　　　　　　　 　　　　　　 　／ 　　　　　　　　　　　　　↑
{r×cos(「例：40度」),r×sin(「例：40度」)} 　／↑　　　　　　　　　　　　　　 ↑
と表わされるのです。　　　　　　　　　　　／　　 ↑ この角度が、 　　　　↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　　 ↑ 「例：40度」 　　　　　↑
--・------------------------・---------↑---------------→X軸の正の方向
「例えばポイントA」　　　　　　　 原点

>今回の質問の条件では、角度の情報は一切ありません。

と言われていますが、角度の条件がなくて、ポイントA、Bの座標がどのように
表わされているのでしょうか？
そして円弧上のポイントを表わすのにどのような方法を採用するお積りなのでしょうか？
角度を用いなければ表わせないと思いますが・・・

この回答への補足

ご説明ありがとうございます。
「正の方向から測った回転角」は理解できました。

>角度を用いなければ表わせないと思いますが・・・

私の説明がわかりにくくてすみません。
他の人への補足でも書いたとおり、質問の条件はＣＡＤのスキャン機能で得られる情報です。
図形をスキャンすると、質問にある条件が情報として得られるわけですが、残念ながら角度は得られません。
したがって、角度はこれらの条件をもとに計算する以外ありません。

補足日時：2006/09/28 10:42

この回答へのお礼

詳しい説明をありがとうございました。

お礼日時：2006/09/29 08:51

No.8 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/09/27 19:58

＞弧ABの長さ:弧APの長さ＝∠AOB：∠AOP

書きかたを変えると
　　弧APの長さ/弧ABの長さ＝∠AOP/∠AOB
　　∠AOP＝弧APの長さ/弧ABの長さ*∠AOB

弧ABの長さ,弧APの長さ,∠AOBが与えられれば∠AOPは必然的に決まるということです。
∠AOBは点A,点B,円弧の中心から求まり、
弧ABの長さは円の中心角(2π)と∠AOBの比から求まります。
弧APの値は与えられるわけですから∠AOPは求まりますね。

∠AOPの確度から座標値を導く方法は他の方々が回答されているようなので省略します。

この回答への補足

ありがとうございます。
何となくゴールが見えてきました。
ただ、現時点で私には∠AOBを求める公式が見つかりません。
つまり、hiiniichan様の回答では、ＡがＸ軸（負）上にあることが条件のような気がします。
そればらば∠AOBは簡単に求めることはできます。
私の拙い説明で分かり難いとは思いますが、他の人への補足でも書いたとおり、質問の条件はＣＡＤのスキャン機能で得られる情報です。
図形をスキャンすると、質問にある条件が情報として得られるわけですが、残念ながら角度は得られません。
したがって、角度はこれらの条件をもとに計算する以外ないのです。
相手がその都度変わる図形ですから、Ａが必ずＸ軸（負）上にあるわけではありません。
Ｏを中心とする円弧上のどこかにＡＢＰがあります。
そのような状況で、簡単に∠AOBを求めることはできるのでしょうか？
方法があれば是非教えてください。
お願いします。

補足日時：2006/09/28 10:28

No.7 回答者： take_5 回答日時： 2006/09/27 18:31

＞弧ＡＢの長さは一定ではなく、θも定角ではないと思います。

という事ですが、貴方は最初の質問で

＞ＡＢの弧の長さが分かっている場合、

と書かれています。
ＡＢの弧の長さが分かっている場合＝弧ＡＢの長さは一定　　という事になります。

No.6 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/09/26 21:56

プログラミングに関する問題と考えて良いのでしょうか？

座標をA(x_a,y_a)、B(x_b,y_b)、円の半径を r とし、A点、B点のX軸、正の方向から測った回転角をそれぞれθ_a、θ_b とします。また、円弧の長さを L_a、L_b とします。
すると、
L_a=r・θ_a ： L_b=r・θ_b
x_a=r・cosθ_a ： y_a=r・sinθ_a
x_b=r・cosθ_b ： y_b=r・sinθ_b

Ｐ点の、X軸、正の方向から測った回転角をθ_p 、その座標を P(x_p,y_p)、そして円弧の長さをL_pとすると
L_p=L_b+(L_a-L_b)・(θ_p-θ_b)/(θ_a-θ_b)
または、
L_p=L_b+r・(θ_p-θ_b)
x_p=r・cosθ_p : y_p=r・sinθ_p

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
今回の質問は、プログラムを組む再に発生した問題です。
ご回答の内容にわからない部分がありますので、質問します。
「正の方向から測った回転角」というのはどのような意味ですか？
今回の質問の条件では、角度の情報は一切ありません。
引き続きよろしくお願いします。

補足日時：2006/09/27 16:20

No.5 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/09/26 20:27

円弧の中心が原点(0,0)で点AがX軸上にあるような円弧を描いて

考えてみてはいかがでしょう。

弧ABの長さ:弧APの長さ＝∠AOB：∠AOP だということが
見えてくると思いますよ。

この回答への補足

前回に引き続き、ご回答ありがとうございます。
「弧ABの長さ:弧APの長さ＝∠AOB：∠AOP」というのは理解できますが、このこととＰの座標を求めることとの関連性がわかりません。
質問の条件から、Ｐの座標を求める公式があれば教えてください。
よろしくお願いします。

補足日時：2006/09/27 16:41

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2006/09/26 20:09

この条件だとＰ点の座標として極座標を採用し、得られた値をＸＹ座標に変換するという方法が一番簡単ですね。

極座標の原点は円弧の中心に置きます。ちなみに極座標（r,θ）→ＸＹ（Ｘ、Ｙ）座標への変換は下記です。
Ｘ＝ｒ・cosθ
Ｙ＝ｒ・sinθ

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
「極座標を採用し、得られた値」とありますが、この値を得る為には、具体的に何をするのですか？
数学の知識がまったくありませんので、お手数ですが噛み砕いてお願いします。
できれば、質問の条件からＰの座標を導き出すまでのプロセスを、式と解説で表して頂ければ幸いです。

補足日時：2006/09/27 16:47

No.3 回答者： a-saitoh 回答日時： 2006/09/26 19:25

2点の座標と直径がわかれば、中心もわかります。

ただ、2箇所候補ができてどちらか決められません。この時点で弧ABの長さも決まるので、問題の一部として与える必要はありません。
弧AP/BPの長さがわかっても、あいかわらず二つある円の中心点候補のどちらとも決められないので、Pの座標も決められないと思います。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
これはつまり、ＡＢを通る円弧の中心が２箇所あるということでしょうか？
そのことでしたら補足します。
円弧の中心の座標も条件としてわかっています。
その事を書き忘れていました。
その条件でお願いします。

補足日時：2006/09/27 16:55

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2006/09/26 19:03

弧の長さというのですから三角関数が必要でしょう。

簡単の為に、単位円で考えます。
原点をＯとする単位円の方程式は　x＾2＋y＾2＝1であるから、∠xＯＢ＝θ　(0＜θ＜π)、Ａ(1、0)とする。
Ｂの座標はＢ(cosθ、sinθ)であり、弧ＡＢの長さが一定と言う条件から、θも定角である。

今、ＢとＰの弧の長さが一定(ＡとＰの弧の長さが一定でも同じ)であるから、∠ＰＯＢ＝αとするとαは定角(0＜α＜π)。

∠ＰＯＡ＝θ＋α　(θ＋αは一定)であるから、Ｐ(x、y)を求めると、x＝cos(θ＋α)、y＝sin(θ＋α)となる。


(注)点Ｐが点Ａと点Ｂの間にあるときも同様に考えると良い。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
私の質問がおかしい為だと思いますが、弧ＡＢの長さは一定ではなく、θも定角ではないと思います。
これはＣＡＤ上の図形のことで、質問にある全ての条件は図形ごとに変化します。
よろしくお願いします。

補足日時：2006/09/27 16:59