A 回答 (10件)
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No.10
- 回答日時:
ANo.#9のコメントがありましたので、補足したいと思います。
参加者が1回だけの手で行うじゃんけんを1手のみのじゃんけん、1手のみじゃんけんを勝ち組と負け組が決まるまで行う場合を1セットのじゃんけん、勝者が1人になるまで1セットじゃんけんを行う場合を1人勝ちのじゃんけんと言うことにします。
上の1人勝ちじゃんけんの場合で、1セットじゃんけんを行って勝者が複数になった場合にあいことしてじゃんけんを進めることはなく、1セットじゃんけんの敗者は除いて、改めて勝者のみが次の1セットじゃんけんを行うものとします。(敗者を残すのは最終的な決定を行う上で非効率的でこのようなことが行われることはないと思いますので)
1人勝ちじゃんけんで勝つ確率ですが、この場合は明らかに私がANo.#8で考えたような1セットじゃんけんとは異なり、人数が増えると勝つ確率は減少することになると思います。最終的に1人のみが勝ち残り、そのチャンスはどの参加者にとっても同じ確率になることとあいこがないと言うことになるので勝つ確率は参加者をn人とすれば1/nになることが途中の経過を考えなくても分かると思います。
途中の状態も考えた場合はだいぶ煩雑になると思います。他によい方法があるかも知れませんが、考え方だけ簡単に説明してみます。(以下でC(n,m)は組み合わせの場合の数を示す式です)
(1)n人で1手のみじゃんけんを行うとき、
(1a)m人が勝つ確率:r(n,m)
1人で(自分のみが)勝つ確率はC(n-1,0)/3^(n-1)
2人で.....
となり、
m人(自分以外のm-1人も含めて)では、勝つ確率は
r(n,m)=C(n-1,m-1)/3^(n-1)
となります。
(1b)あいこになる確率:e(n)
あいこになる確率は
・1人から(n-1)人で勝つ場合、
同じく
・1人からn人で負ける場合
を差し引いて求めます。(1a)で求めた人数分(m=1,...,n-1)を
合計して、 勝つ場合を求め、これが負ける場合の確率と等しくなる
ことを考えに入れると、
e(n)=1-2・r(n)
ここでr(n)=r(n,1)+・・・・+r(n,n-1)
と求まります。(r(n)とr(n,m)の区別に注意)
(2)次に1セットじゃんけんを考えます。
1回の1セットじゃんけんでm人が勝ち残る確率は
r(n,m)
2回では
e(n)・r(n,m)
3回では
e(n)^2・r(n,m)
4回では・・・
と計算して合計すれば最終的にm人が勝ち残る確率は
s(n,m)=r(n,m)/(1-e(n))=r(n,m)/r(n)/2
(3)最後に1勝ちじゃんけんを考えます。
n人で一人勝ちじゃんけんをして勝つ確率をt(n)とします。1人勝ちじゃんけんを行うため先ず、1セットじゃんけんを行います。この時、1セットじゃんけんを行ってm人が勝ち残ったとすると、その後はm人で1人勝ちじゃんけんをする事になります。従って、この場合の勝つ確率は
s(n,m)・t(m)
となります。1回目の1セットじゃんけんで勝ち残るのは
1人の場合、2人の場合、....と場合分けできますので、結局
t(n)=s(n,1)・t(1)+s(n,2)・t(2)+.....+s(n,n-1)・t(n-1)
となってt(n)を求めるための漸化式が求まります。これを使ってn人(n≧3)の場合の勝つ確率が計算できます。(n≦2の場合はC(n,m)のmの値の関係で式が適用できませんのでt(2)=1/2であることを別途確認する必要があります。)
n=3,4についてt(n)が1/3、1/4になることを確認しましたが最終的にt(n)=1/nになることは私は確認・証明していませんので、お断りしておきます。
別の解法として組み合わせの数を列挙して考える方法もあるかと思いますが煩雑になるのではないかと思います。(いずれにしても最初に述べた考え方がスマートで間違えない方法だと思います。)
最後にじゃんけんについての定義ですが、上で言う1セットじゃんけんが珍しいじゃんけんの定義で1勝ちじゃんけんが一般的というのは当たっていないのではないかと思います。
1セットじゃんけんが一般的で1人勝ちが珍しいなどと言うつもりはありませんが、少なくとも両者とも当たり前に使われ、それほど厳密に区別して1人勝ちまで進まないのは特殊だなどと言われることはないと考えます。敢えて言うなら、大勢から1人を決めるという必要性よりは2人以上の何人かを残すと言う必要性の方が多いと思います。例えば5人の仲間がいて箱の中にキャラメルが3個しかなかったと分かった場合、仲良く平等に分けるのにじゃんけんで勝った人が食べられることにしようと決まった場合、1回目で(1セットじゃんけんで)2人が勝ち残った場合、その2人はキャラメルを食べることのできる勝者として確定し、残りの1個については負けた3人でもう一度じゃんけんをして決めると言うようにすると思います。この場合、1回目の1セットじゃんけんは1セットじゃんけんで完結しており、残った1個の権利者を決めるための2回目以降のじゃんけんとは別のじゃんけんと考えられると思います。こう言ったケースは日常で頻繁に出てくるのではないでしょうか?
No.8
- 回答日時:
3人以上になっても最終的に勝つ確率は1/2で変わらないようです。
1回のじゃんけんで勝つ確率と負ける確率は人数が増えても同じであろうと推測されます。すると勝つ確率をrとすると、負ける確率もrで、あいこになる確率をeとするとe=1-2・rとなります。そこで決着が付くまでじゃんけんを続けたとすると、決着時に勝つ確率Rは
R=r+e・r+e・e・r+ .....
=r/(1-e)
=r/(1-(1-2・r))
=r/(2・r)
=1/2
そこで、1回のじゃんけんで勝つ確率を求め、また勝つ確率と負ける確率が等しいことを確認しておきたいと思います。
3つの手を G:ぐー、C:ちょき、P:ぱー とします。2人の場合、あいこは2人が同じ手を出した場合になりますが3人以上の場合のあいこは、
・全員が同じ手を出した場合
の他に
・3つの手が出そろった場合
も加わります。
ある人Aが(n-1)人の人と一緒にn人でじゃんけんを1回行うとします。対称性からAがG、C、Pのいずれの手を出しても勝つ確率は同じでAがGの手を出した場合の確率を求めてもそのままじゃんけんでAが勝つ確率としてよいと思います。
0)全体の手の場合の数
(n-1)人全体の手の場合の数は3^(n-1)通りです。
1)Aが勝つ「場合の数」・確率
勝つためには先ずPがいないことが条件です。従って、相手の(n-1)人全員の手がGかCで、かつ全員がGになってあいこになることがなければOKと言うことになります。(この場合、GCPによるあいこは自動的に除かれていることになります)
そこでn=5の場合を例として相手((n-1)人)の手を列挙すると
GGGP(Pを出す人が1人) どの人がPになるかでC(4,1)通り
GGPP(〃 2人) 〃 C(4,2)
GPPP(〃 3人) 〃 C(4,3)
PPPP(〃 4人) 〃 C(4,4)
従って、勝つ場合の数は合計で
C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)+C(4,4)
一般に(n-1)人の場合、勝つ「場合の数」の合計は
C(n-1,1)+C(n-1,2)+・・・・・・・+C(n-1,n-1)=2^(n-1)-1
従って勝つ確率は
r=(2^(n-1)-1)/3^(n-1)
2)Aが負ける「場合の数」・確率
負けるためにはCの人がいないことが条件です。(もしいた場合、相手全員がCなら自分の勝ちとなってしまいます。また、C以外の人もいてそれがGのみならやはりその人も含めて自分の勝ちとなり、C以外にPの人がいたとすると3手全てがそろってあいことなってしまいます。)従って、相手の(n-1)人全員の手がGかPで、かつ全員がGになってあいこになることがなければOKと言うことになります。これは1)でCをPに置き換えるだけで後は全て同じになっています。手の対称性からこれは1)の手の場合の数と同じになります。従って負ける確率と勝つ確率は等しくなります。
あとは最初に戻って決着が付くまでじゃんけんをする場合の勝つ確率を求めることができます。
人数が増えた場合、勝つ確率が減ると同時に負ける確率も同じように減り、あいこになる確率が増えることになります。結局決着が付くまでじゃんけんをすると人数に拘わらず、勝ち負けの確率は1/2ずつで等しくなると言うことです。直観的に考えた場合、相手が増えて負ける確率が増えると思えるかも知れませんが、よく考えてみると、(これも直観的に考えて言えることですが)もし人数が増えることによって自分が負けやすくなるとすると相手の一人ひとりについてもこのことが当てはまり、全員が負けやすくなることになりますが、これは大勢でじゃんけんをした場合、ぐーで勝ったとするとぐーの人が少なくちょきが多くなる傾向が出ることになりおかしいと感じるのではないでしょうか。やはり直観的にも大勢でじゃんけんした場合はあいこになる確率が増えるものの、勝つ人・負ける人は何回も行った場合平均して半々と言うことで1人ひとりについての勝敗の確率も1/2で半々と言うのが納得できるところだろうと思います。
No.7
- 回答日時:
2人で対戦した場合、1回勝負で勝つ確率は3分の1です。
相手が何を出したかに関係なく、自分がそれに対して
勝つ確率=1/3、負ける確率=1/3、あいこの確率=1/3
になります。
これをもとに、あいこなら再勝負して決着がつくまでやった場合を求めます。
1回目の勝負で勝つ確率は、上記の通り1/3です。
2回目の勝負で勝つ確率はどのように求めるかというと、
(1回目があいこの確率)×(2回目で勝つ確率)
になりますから、
(1/3)×(1/3)=(1/3)^2 (←「2乗」です)
ということになりますね。
3回目の勝負で勝つ確率は、
(1回目があいこ)×(2回目があいこ)×(3回目で勝つ)
=(1/3)×(1/3)×(1/3)=(1/3)^3
以下、4回目の確率、5回目の確率…と無限に続きますから、
1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4 + (1/3)^5 + ……
という感じになります。
このような無限に続く値の合計を計算する公式(証明は省きます)で
e/(1-e) (ただし0<e<1のとき)
というのがありますので、これにe=1/3をあてはめてみますと
答えは「1/2」になります。
計算の過程は難しいですが、2人が同じ条件でどちらかが必ず勝つなら
その確率は結局「2分の1」という、当たり前の結果になるわけですね(笑)
No.6
- 回答日時:
じゃんけんは人数によっても勝率は変わってくるのではないでしょうか。
つまり、じゃんけんでその人が勝つ確率は常に1/(人数)ではないでしょうか。
みなさんのいっているのは一回で、2人で勝負したときの勝つ確率ではないでしょうか。
問題が不適切です。(条件がなさすぎます)
No.5
- 回答日時:
二人で勝負をしたとき、一回勝負で勝つ確率は1/3です。
あいこ無しで勝負がつくまでじゃんけんを繰り返すとき、勝つ確率は
1/3+1/(3^2)+1/(3^3)+1/(3^4)+・・・・・=1/2です。
この式の意味は、最初の1/3は、一回目に勝つ確率、2番目の1/(3^2)は一回目あいこで2回目に勝つ確率、3番目の1/(3^3)は2回目まであいこで3回目に勝つ確率、4番目の1/(3^4)は3回目まであいこで4回目に勝つ確率・・・・・です。
No.3
- 回答日時:
勝率というか、勝つ確率ですよね?
うーん・・・数学苦手なんですが、たしか三分の一じゃなかったかな?
自分がグー、チョキ、パーをだしたときにそれぞれ勝てるのが三分の一ずつだし・・・
参考までにURL添付しております。私も勉強してきます。
参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3p03.htm
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