数学の、確率の問題です。

nを自然数とする。１つのさいころをn回投げるとき、出た目のすべての数の積が６の倍数となる確率を求めなさい。（解説もよろしくお願いします）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/23 12:19

ｎが可変というのが面倒ですね。

具体的にやってみると
（１）n=1 のとき
　出た目のすべての数の積が６の倍数となるのは「6」のときの1通りだけ。分母は１～６の6通り。つまり 1/6。

（２）n=2 のとき
　出た目のすべての数の積が６の倍数となるのは「6、1～6」「1～6、6」のとき（ただし「6, 6」は両方に共通なので 12 - 1 = 11通り）と「２、３」「３、２」「４、３」「３、4」のときの、計15通り、分母は 6*6=36 通り。
　つまり 15/36 = 5/12。

（３）n=3 のとき
　3回のうちに（１）（２）があれば、残りの回は何でもよい。分母は 6^3 通り。

こうやって考えて行くと、n回振ったときに
(a) 分母は 6^n 通り。
(b) １回だけ「6」が出れば、他の回は何が出てもよい。
(c) どこかの２回に「３」と「２または４」が出れば、他の回は何が出てもよい。
ということになりそうです。

(b)または(c)の場合の数は、
(b')「6」が1回も出ない
(c')「3」が1回も出ない、または「3」が出ても残りの回で「2または4」が1回も出ない
場合を数えて、全体の場合の数(a)から引けばよさそうです。

そういう考え方を整理してみてください。

この回答へのお礼

どうも有り難うございました。

お礼日時：2016/12/24 00:24

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2016/12/23 20:07

これは意外と難しいですね。

余事象を考えて、「6の倍数にならない確率」を1から引くという方針で考えます。

6の倍数になるのは、「2の倍数が出て、かつ、3の倍数が出る」なので、
6の倍数にならない（余事象です）のは、「2の倍数が出ない、または、3の倍数が出ない」です。

A：2の倍数が出ないのは、奇数だけ(1、3、5)の場合なので、確率は、(3/6)^n=(1/2)^n
B：3の倍数が出ないのは、1、2、4、5だけの場合なので、確率は、(4/6)^n=(2/3)^n
C：2の倍数が出ず、かつ、3の倍数も出ないのは、1、5だけの場合なので、確率は、(2/6)^n=(1/3)^n

上記のA、B、Cを踏まえ、「2の倍数が出ない、または、3の倍数が出ない」確率は、
(1/2)^n + (2/3)^n - (1/3)^n　…※

　　注：2の倍数が出ない確率と、3の倍数が出ない確率をそれぞれ○で表して、ベン図を書いて下さい。
　　　２つの○の全体（和集合）の確率が欲しいのですが、その共通部分が２回計算されているので、
　　　引いているのです。
　　　上記のA、B、Cを用いて式で書くと、P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)であり、A∩B=Cなので。

よって、求めたい「2の倍数が出て、かつ、3の倍数が出る」確率は、上記の※を1から引いて、
1 - (1/2)^n - (2/3)^n + (1/3)^n

この回答へのお礼

判りました、どうも有り難うございました。

お礼日時：2016/12/24 00:24