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例 三角形(a,b,c)の a を基点として回転させる計算方法

a x = 200 y = 100
b x = 1500 y = 100
c x = 1500 y = 900

難しくはないと思いますが三角関数が苦手なので教えて下さい。

A 回答 (4件)

回転する角度をθとします。

a点のxをax, yをayと書きます。以下同様。
px=bx-ax, py=by-ay
を計算し、
px' = px cosθ - py sinθ
py' = px sinθ + py cosθ
そして、
bx' = ax+px', by' = ay+py'
このbx', by'が新しいbの座標です。cも同様にして計算すればおっけー。
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この回答へのお礼

とても解かり易い回答ありがとうございました。
私が知りたかった計算式です。

学問から20年も離れますと、使っていない方式など
ほとんど忘れてしまい皆様のお力をお借りしなければなりません。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/13 19:15

lible_ioさんは、虚数や、行列を知らないようですので、


中学生ぐらいの数学力だとして説明します。

基点という意味がちょっと分かりかねたんで、aを回転の中心として図形を
回転させるにはということで説明します。

aを中心に図形を回転するのに一番わかりやすいやり方は
aを原点に持ってくるように図形を平行移動します。

つまりx方向に -200、y方向に -100づつ頂点を移動します。
a x = 200 - 200 = 0 a y = 100 - 100 = 0
b x = 1500 - 200 = 1300 b y = 100 - 100 = 0
c x = 1500 - 200 = 1300 c y = 900 - 100 = 800
となります。

そして各頂点を原点を中心として点を回転する公式に当てはめます。
回転する角度を θ とした場合
a は原点にあるので回転しても移動しないので。
x = 0
y = 0
bのx,yそれぞれの座標は
x = 1300 × cos θ - 0 × sin θ
y = 13000× sin θ + 0 × cos θ

bのx,yそれぞれの座標は
x = 1300 × cos θ - 0 × sin θ
y = 13000× sin θ + 800 × cos θ

そして、回転した後の図形を、最初に平行移動をしているので
aが元の位置に戻るように x 方向に200 y 方向に 100づつ
それぞれの頂点を平行移動します。

a の座標は
x = 0 + 200 = 200
y = 100 + 100 = 100

bのx,yそれぞれの座標は
x = 1300 × cos θ - 0 × sin θ + 200
y = 13000× sin θ + 0 × cos θ + 100

bのx,yそれぞれの座標は
x = 1300 × cos θ - 0 × sin θ + 200
y = 13000× sin θ + 800 × cos θ + 100

となり、これで図形abc を頂点a を中心に θ だけ回転した図形が
出来あがります。
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この回答へのお礼

回答有り難うございました。
学問から20年も離れますと、使っていない方式など
ほとんど忘れてしまい皆様のお力をお借りしなければなりません。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/13 19:16

複素数を利用する方法。



i*i = -1
a(200+100i)
b(1500+100i)
c(1500+900i)
回転する角度θ

b' = (b-a)(cosθ+isinθ)+a
c' = (c-a)(cosθ+isinθ)+a

(b-a)で回転中心を原点に移動、(cosθ+isinθ)をかけて回転、最後に+aで回転中心を元の位置に戻す。
あとは計算して実部と虚部にわけてやると、実部がx座標、虚部がy座標になります。
(結局下記の方々と言ってることは変わって無い・・・)

この回答への補足

iの値の意味が解かりません。
教えて下さい。

補足日時:2001/01/10 14:04
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この回答へのお礼

回答有り難うございました。
学問から20年も離れますと、使っていない方式など
ほとんど忘れてしまい皆様のお力をお借りしなければなりません。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/13 19:16

 a が原点にくるように並行移動し、原点を中心として回転移動させ、もう一度並行移動させ a を元の位置に戻します。


 具体的に回転角をθとすると、

|cosθ -sinθ||bx-ax|+|ax|
|sinθ  cosθ||by-ay| |ay|
(分りにくいかもしれませんが、
2×2の行列に、ベクトルabをかけて、ベクトルoaを足してます。)

 数値を代入すると
|cosθ -sinθ||1500-200|+|200|
|sinθ  cosθ|| 100-100| |100|

 c も同様に
|cosθ -sinθ||1500-200|+|200|
|sinθ  cosθ|| 900-100| |100|
です。

この回答への補足

│の意味を教えて下さい。

補足日時:2001/01/10 14:07
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この回答へのお礼

回答有り難うございました。
学問から20年も離れますと、使っていない方式など
ほとんど忘れてしまい皆様のお力をお借りしなければなりません。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/13 19:17

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Qエクセルで回転する座標の出し方

エクセルで回転する座標の出し方
(例)
座標X100、Y100の点から好きな角度を回したときのX、Yの座標の求め方
回転中心はX0、Y0
回転方向は反時計回り
例で言えば X141.421、Y0  が0度
      X0、Y141.421  が90度
      X-141.421、Y0 が180度
      X0、Y-141.421 が270度

エクセルでの問題点は
1.角度計算がラジアンになる デグリも関数はあるけど書式がわからない
 無理やり(PI()/180)などを使ってるがアークタンジェントでは書式がわからない

2.正と負の計算式・答えが負になるときの処理ができない
 回転角度が270度とか



今電卓で打っているのは
100/100=ATAN ----------------------最初の角度

100*100+100*100の答えのルート--------回転中心からの直線距離

最初の角度+動かしたい角度------------求めたい座標の角度

SIN求めたい座標の角度*直線距離-------Y座標 答え

COS求めたい座標の角度*直線距離-------X座標 答え



最初のX、Y座標と 動かしたい角度を入れると答えが出るような
物が作りたいです よろしくお願いします

エクセル2000
WINXP

エクセルで回転する座標の出し方
(例)
座標X100、Y100の点から好きな角度を回したときのX、Yの座標の求め方
回転中心はX0、Y0
回転方向は反時計回り
例で言えば X141.421、Y0  が0度
      X0、Y141.421  が90度
      X-141.421、Y0 が180度
      X0、Y-141.421 が270度

エクセルでの問題点は
1.角度計算がラジアンになる デグリも関数はあるけど書式がわからない
 無理やり(PI()/180)などを使ってるがアークタンジェントでは書式がわからな...続きを読む

Aベストアンサー

エクセルは行列演算ができます。
ビジネスでは回転は出てきたことがなく(統計ではあり)、小生の知識は生半可ですが参考までに記してみます。(誤りの個所がもしあればごご容赦ください。)
理系の方なら、ご存知なければ、勉強して見てください。
#1のご回答の回転の行列を左側からの行列乗算をすれば
複雑な関数式を使わなくてできるはず。
>エクセルで回転する座標の出し方
点(x1、y1)を原点周りにΘラヂアン(or度)回転した時の点の新座標、点(X2,Y2)を計算すると言うことですね。回転するの「する」は「させた」の意味ですね。
>回転方向は反時計回り
これは通常です。
>角度計算がラジアンになる 
ご存知でしょうが、エクセルにはRADIANS関数があります。RADIANS(角度)=ラヂアン
>デグリも関数はあるけど
ラヂアンを度に変換。
=DEGREES(角度)=度
>書式がわからない
エクセルに書式という別の用語があり紛らわしいですが、ここでは、引数の配置、数と意味のこと?
>無理やり(PI()/180)などを使ってるが
RADIANS関数を使わなければそうなりますね。
>アークタンジェントでは書式がわからない
=ATAN(数値)でラヂアン値が-π/2からπ/2の間で返ってくる。
>書式がわからない
前述の通り、意味が判らない。
----
値としてA1に角度を120とか度で入れる
D2にCOS(s)にあたる=COS(RADIANS(A1))
D3にsin(s)にあたる=SIN(RADIANS(A1))
E2に-SIN(s)にあたる=-SIN(RADIANS(A1))
E3にcos(s)にあたる=COS(RADIANS(A1))
A2にX1の座標値、A3にY1の座標値、
B2に中心のX座標、B3に中心のY座標を入れる。
C2に=A2-b2,C3に=A3-B2
C2:C3にD2:E2の行列をかける。
http://www.metro-hs.ac.jp/rs/sinohara/zahyou_rot/zahyou_rotate.htm
行列の乗算はMMULT関数を使います。
E2に=MMULT(c2:c3,D2:E3)と入れてControlキーShiftキーを左手指で押さえて、右手指でEnterキーを押す。
「配列数式」です。
シフト+コントロル+エンタキーを押す前に答えを出すセルの範囲指定(F2:D3)をしておく必要があります。
http://www.katch.ne.jp/~kiyopon/kansuu/abs.html#MMULT
あと原点まで座標を戻す必要があると思います。

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ビジネスでは回転は出てきたことがなく(統計ではあり)、小生の知識は生半可ですが参考までに記してみます。(誤りの個所がもしあればごご容赦ください。)
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#1のご回答の回転の行列を左側からの行列乗算をすれば
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Q原点中心に図形を回転させる。(サインとコサイン)

xy座標上にある図形を原点中心に回転させるためには

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

と書いてあります。

どうしてこうなるのかわかりやすく教えてください。
サイン、コサインについては何も知らないので、そこのところの説明からお願いします。猿です。

Aベストアンサー

100Goldさん、こんにちは。

>xy座標上にある図形を原点中心に回転させるためには

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

まず、この前にサイン、コサインが分からないとのことですので
参考URLを見て下さい。

直角三角形がありますね。右下に直角を位置したような直角三角形で、
ちょうどSの字を描くように(筆記体のS)

(高さ)/(斜辺)=sin(サイン)

(底辺)/(斜辺)=cos(コサイン)といいます。

このほか、タンジェントもあります。

また座標表現のところを見てみましょう。
半径rの円周上の点(x,y)の座標は、
この点と原点を結ぶ直線(半径)と、x軸とのなす角度αによって

(x,y)=(rcosα,rsinα)・・・(☆)
と表されるのです。

さて、このことを用いて、

(x,y)=(rcosα,rsinα)ですが、これをθだけ回転させた座標(x',y')とは
x軸から考えると(α+θ)だけ動かしたことになります。
ですから、(☆)において動かす角度をx軸から考えて(α+θ)だと考えると

(x',y')=(rcos(α+θ),rsin(α+θ))・・・(★)
となります。

ここで、三角関数の加法定理というのがあるのですが、
100Goldさんはサイン、コサインがまだよく知らないとのことですので、
そういう定理があるんだな、とご理解ください。
それによると、

cos(α+θ)=cosαsinθ-sinαcosθ
sin(α+θ)=sinαcosθ+cosαsinθ
のようになります。

これを(★)に代入すると

x'=rcos(α+θ)=r{cosαsinθ-sinαcosθ}=rcosαsinθ-rsinαcosθ
ここでrcosα=x,rsinα=yですから
x'=xsinθ-ycosθ

同様に
y'=sin(α+θ)=r{sinαcosθ+cosαsinθ}=rsinαcosθ+rcosαcosθ
=xcosθ+ysinθ

となるので

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

がいえますね。ご参考になればうれしいです。

参考URL:http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/digipt/sincos.html

100Goldさん、こんにちは。

>xy座標上にある図形を原点中心に回転させるためには

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

まず、この前にサイン、コサインが分からないとのことですので
参考URLを見て下さい。

直角三角形がありますね。右下に直角を位置したような直角三角形で、
ちょうどSの字を描くように(筆記体のS)

(高さ)/(斜辺)=sin(サイン)

(底辺)/(斜辺)=cos(コサイン)といいます。

このほか、タンジェントもあります。

また座標表現のところを見てみましょう。...続きを読む

Q任意の地点からの回転座標の求め方

座標A,B,C,Dからなる四角形を中心Dを基準にして、
θ角度を回転させたあとの各点の座標(X,Y)が知りたいのですが、
計算式がまったく分かりません。

昔、勉強したのかもしれませんが文系だったのでさっぱりです。

どなたか教えてください。
お願いいたします。

A--------D
|           |
|     D     |
|           |
B--------C

Aベストアンサー

こんにちは。

高校数学で「回転行列」というのを習います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97

Aの座標を(A、a)、Eの座標を(E,e)と置きます。

まず、Eの座標が(0,0)になるように平行移動します。
すると、Aの座標は、(A-E,a-e)になります。
この座標の左から回転行列を掛けます。

すると、回転後の座標(X,Y)は、
X = (A-E)cosθ - (a-e)sinθ 
Y = (A-E)sinθ + (a-e)cosθ

仕上げに逆平行移動をすると、求める座標(A’,a’)となります。
A’= X+E = (A-E)cosθ - (a-e)sinθ + E
a’= Y+e = (A-E)sinθ + (a-e)cosθ + e

試しに θ=0 としてみると、
A’= = (A-E)×1 - (a-e)×0 + E = A
a’= = (A-E)×0 + (a-e)×1 + e = a
というふうに無変換になるので、つじつまが合います。

こんにちは。

高校数学で「回転行列」というのを習います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97

Aの座標を(A、a)、Eの座標を(E,e)と置きます。

まず、Eの座標が(0,0)になるように平行移動します。
すると、Aの座標は、(A-E,a-e)になります。
この座標の左から回転行列を掛けます。

すると、回転後の座標(X,Y)は、
X = (A-E)cosθ - (a-e)sinθ 
Y = (A-E)sinθ + (a-e)cosθ

仕上げに逆平行移動をすると、...続きを読む

Q3次元座標を原点中心に回転したい

任意のゼロでないベクトル(a,b,c)を原点中心に回転し、z軸に合致させるとする。同じ回転移動を3次元座標上の任意の点(x,y,z)に対して行った時の移動後座標が知りたいのです。

計算と結果を教えて下さい。

Aベストアンサー

A No. 1 です。補足。

「回転行列」
http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/knowledge/tech07.html

ロドリゲスの公式もあります。

Q3次元で回転させた座標値の計算方法

点(Ax、Ay、Az)を3次元空間にある、点(Bx、By、Bz)から、点(Cx、Cy、Cz)に向かう直線を軸に任意の角度で回転させたときの、点(A’x、A’y、A’z)の座標値の計算方法を教えてください。ただし自分の数学レベルは中学生並でベクトルが少しだけ理解できるていどです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

オイラー角による座標変換だと
任意の方向ベクトルを軸にした回転はややこしくなるので
四元数を使った座標変換がオススメです

参考URLを見て頂ければここに書くことはないと思います
(ただ私の知識がないだけですが...)

また、任意の点を中心に回転させたいなら
ゲタを履かせて座標変換してから、ゲタを取ればいいだけなので簡単にできるはずです

ゲタを履かせるの意味がわからないかも知れませんが
Aを中心にBを回転させるとすると
BからAを引き、平行移動させてAを原点に持ってきて
同じく平行移動させた(B-A)を回転させ、その結果(B-A)'にAを足してもう一度平行移動させて
ってことです、解るかな?
B → (B-A) → (B-A)' → (B-A)'+A

参考URL:http://staff.aist.go.jp/toru-nakata/quaternion.html

Q座標の回転

x,y座標で表されるある点を反時計回りにα°回転したX、Y座標に変換しました。
かつてこのサイトで教えていただいたとおり
(x、y)=(rcosθ,rsinθ)とおき,αだけ回転した座標なので
(X,Y)=(rcos(θ+α),rsin(θ+α))
加法定理を使って
X=xcosα-ysinα
Y=xsinα+ycosα
と計算しました。
ところが,ある本に同様の計算がついていたのですが,
X=xcosα+ysinα
Y=-xsinα+ycosα
となっており正負が異なります。(私と同じように反時計回りの回転)

 私の計算が違っているのでしょうか。それとも何かの仮定が異なっているのでしょうか。
(ちなみにある本は作図により上記の結果を求めています。)

 分かりにくいかもしれませんが,適切な指摘をお願いいたします。

Aベストアンサー

例えば x, y 座標系で (rcosα, rsinα)の点を反時計回りに角度β
回転させると、角度の加法定理から

(rcos(α+β), rsin(α+β)) = (r(cosαcosβ-sinαsinβ), r(sinαcosβ+sinαcosβ))

元の座標位置を (a, b) = (rcosα, rsinα) とすれば

(r(cosαcosβ-sinαsinβ), r(sinαcosβ+sinαcosβ)) = cosβa - sinβb, sinβa + cosβb

これがいわゆる回転変換。

座標軸の回転では XY座標の左回転に対して、点は右に回転するから、角度の符号を反転すればよい

(cos(-β)a - sin(-β)b, sin(-β)a + cos(-β)b) = (cosβa + sinβb, -sinβa + cosβb)

これが回転の座標変換の式です。角度の向きが逆なだけです。

蛇足ですが、
角度の加法定理は、添付図をじっくり眺めて Qのx座標と と S のy座標を求めれば、すぐに求まります。

Q二点の座標から角度を求めるには?

2点の座標A,Bの角度を求めたいのですが,たとえばA点(0,0)とB点(4,3)を結ぶラインは、底辺Bxと高さByを元に三角関数?から30度と求められますが、B点がマイナス座標が絡んできた場合などの90度から359度までをどう求めていいか悩んでいます。また、A点も(0,0)に限定されるわけではないので、ますます混乱しています。どう考えればよいのか教えていただきたいのですが
(水平はX軸プラス方向が0度です)

Aベストアンサー

>2点の座標A,Bの角度を求めたい~・・・・

このままなら答えは0ですけど?

xy座標で、x軸のプラス方向を0度とし、
2点の座標A、Bにより形成される線ABとx軸との角度
ってことですね。

>たとえばA点(0,0)とB点(4,3)を結ぶラインは、底辺Bxと高さByを
>元に三角関数?から30度と求められますが、

sen-senさんの書かれたとおり、これは間違いです。
この場合、Bからx軸へのばした垂線とx軸との交点をCとすると、
三角形ABCができ、そのときの求めたい角度をθとすると、
tanθ=3/4となります。
よって、θ=36.8698...
となります。

>B点がマイナス座標が絡んできた場合などの90度から359度までを
>どう求めていいか悩んでいます。また、A点も(0,0)に限定される
>わけではないので、ますます混乱しています。
>(水平はX軸プラス方向が0度です)

常にx軸のプラス方向が0度でしたら、
1.第一象限にある場合は90度足す。
2.第二象限にある場合はそのまま。
3.第三象限にある場合は270度足す。
4.第四象限にある場合は180度足す。
とすればいいのでは?

簡単な例として、x軸と点A(0,5)と点B(-3,7)によって形成される
線ABとの間の角度は・・・・

まず、図を描いてみると点Bは第一象限にあるので、
最後に求めた角度に90度足せばいいだけです。
さっきと同じように直角三角形を作成します。
すると点Cの座標は(0,7)となります。
辺ABと辺ACとの間の角度は、tanθ=3/2
θ=56.3
以上より、x軸(に水平な線)と線ABとの間の角度は146.3度となります。

こんな感じでいいのでは?

>2点の座標A,Bの角度を求めたい~・・・・

このままなら答えは0ですけど?

xy座標で、x軸のプラス方向を0度とし、
2点の座標A、Bにより形成される線ABとx軸との角度
ってことですね。

>たとえばA点(0,0)とB点(4,3)を結ぶラインは、底辺Bxと高さByを
>元に三角関数?から30度と求められますが、

sen-senさんの書かれたとおり、これは間違いです。
この場合、Bからx軸へのばした垂線とx軸との交点をCとすると、
三角形ABCができ、そのときの求めたい角度をθとすると、
tanθ=3/4...続きを読む

Q一次関数の回転移動について

y=-3xを原点を中心に時計回りに90度回転させるとy=1/3xですよね。これは傾きをかけると-1になることを利用してすぐに解けるのですが、y=-3xを原点を中心に時計回りに45度回転させた直線の式は、どのように求めればいいのでしょうか?

教えて下さい!

Aベストアンサー

一般にθ゜回転させたものは,No1さん,No2さんのようにして求めますが,45゜に限れば次のように簡単に求められます。

y=-3x は原点と A(-1,3) を通る。
90゜回転したものは B(3,1) を通る。
45゜回転したものは,ABの中点 M(1,2) を通る。
ゆえに,y=2x 。

数学では,回転する向きはx軸(の正の部分)がy軸(の正の部分)に重なる向きに計ります。
ふつうは反時計回り(コンピュータの画面の座標は時計回り)です。
No1さんの解答 y=-1/2x はふつうに45゜回転した場合です。

Q回転した座標軸と一致させるための回転軸と角度の算出

こんにちは。お知恵をお借りしたく質問致します。
プログラミング中で出た話題なのですが、計算の問題ですので数学カテゴリが適しているだろうと思い、投稿いたします。

ちょっと説明しにくく図を添付致しましたので併せてご覧いただければと思います。(線がふるえていて申し訳ないです。)

図のように、xyz座標を回転してXYZ座標の向きに一致させたいと考えています。
また、「指定した軸(α,β,γ)を回転軸としてθ度回転する」という関数があるので、それを活用しようと考えています。α,β,γはコサイン値(方向余弦)です。回転方向は、ベクトルの向きに時計回り…右ネジの法則みたいな感じです。

x軸から見たXの角度(θxX), y軸からのX(θyX), z軸からのX(θzX)
同様にx軸から見たY(θxY),θyY,θzY、θxZ,θyZ,θzZ
といったように、それらの角度(コサイン値)は分かっています。
(=xyz座標からみたXベクトルの方向余弦、Yベクトルの方向余弦、Zベクトルの方向余弦が分かっている。)

z軸とZ軸の外積を取ったベクトルを回転軸として、θzZが分かっているのでその角度で回転することでZ軸は一致しますけど、XY軸は合いません。(当然ですが…)

そのXY軸を合わせるためにまた回転するというのも遠回りで、任意の軸1本を中心に何度か回転するだけ(上記関数を1度使用するだけ)で、必ず向きが一致する解があると思うのですが、その任意軸と角度を算出する方法が分かりません。

一般にどういう計算をするのでしょうか。アドバイスいただければ幸いです。
なお、上記関数を用いない方法でも構いません。
「X軸(Y軸、Z軸)を回転軸としてφ度回転する」という関数もあるので、オイラー角を求める方法でも構いません。

その他、説明不足な点がありましたら随時追記致しますので、ご指摘願います。
どうかよろしくお願いいたします。

こんにちは。お知恵をお借りしたく質問致します。
プログラミング中で出た話題なのですが、計算の問題ですので数学カテゴリが適しているだろうと思い、投稿いたします。

ちょっと説明しにくく図を添付致しましたので併せてご覧いただければと思います。(線がふるえていて申し訳ないです。)

図のように、xyz座標を回転してXYZ座標の向きに一致させたいと考えています。
また、「指定した軸(α,β,γ)を回転軸としてθ度回転する」という関数があるので、それを活用しようと考えています。α,β,γはコサイン値(方向余弦)...続きを読む

Aベストアンサー

というかそのままでいいのか。バカだ。。。。

回転前の基底ex, ey, ez,回転後の基底eX, eY, eZとして

eX = cos(θxX) ex + cos(θyX) ey + cos(θzX) ez
eY = cos(θxY) ex + cos(θyY) ey + cos(θzY) ez
eZ = cos(θxZ) ex + cos(θyZ) ey + cos(θzZ) ez

だから,この係数行列がそのまま座標回転行列。
座標回転行列は実直交行列なので,この転置行列が逆行列。

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?


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