確率の問題　大学受験レベル教えてください！！

Question

確率の問題の答えの解説の意味が分かりません。
誰か分かる方教えてくださいませんか？？
問題
男子6人、女子6人がいる。
男子は、2人ずつそれぞれ赤、青、黄の帽子をかぶっている。
女子は、1人赤、2人が青、3人が黄の帽子をかぶっている。
男子１人、女子１人のペアを6組作るとき、男子と女子の帽子の色が同じであるペアが4組以上となる確率を求めよ。
解答
男子を上段に一定の順序に並べて固定し、女子を下段で動かす。黄のペアが2組できないと、ペアは3組しかできないことに注意する。　　　　
ⅰ）4組の男女がそれぞれ同じ色になるときの組み合わせは、
　　　　男　赤　赤　青　青　黄　黄　　　　　
　　　　女　赤⇔青　青⇔黄　黄　黄　（図1）
　　⇔の部分は変更可能だから4通りが考えられる。
II）4組の男女がそれぞれ同じ色になるときの組み合わせは
　　　　男　赤　赤　青　青　黄　黄
　　　　女　赤⇔黄　青　青　黄　黄　（図2）
　　⇔の部分は変更可能だから2通りが考えられる。
男子の並び方を固定した上で、女子の赤1、青2、黄3の並び方の総数は　6！/(2！3！)=60
ⅰ～IIの合計は　4+2=6　よって求める確率は　6/60＝1/10
分からないところ
＞(1)黄のペアが2組できないと、ペアは3組しかできないことに注意する。とありますが、黄色2組青2組でも4組できるのでは？
＞(2)ⅰ）4組の男女がそれぞれ同じ色になるときの組み合わせは、（答えの図１）とありますが、今回は人なので例えば黄帽子をかぶった男子の中でも区別しないとダメなのでは？
男　赤A　赤B　青A　青B　黄A　黄B     　　　
女　赤a　青b　青a　黄b　黄b⇔黄a  
⇔で変更可能で、同じ帽子の並びでも２通りできるのでは？？
>(3)女子の並べ方の総数は、人は区別すると考えると単に並べることになって　6！（通り）になるのでは？
わかる方是非おしえてください！！

Kules · Accepted Answer

うーんややこしい^^;
まず簡単なところからいきましょうか。
解説のIIは「５組の男女が～」ではないですか？４組だと誤植です。
「４組以上」なので「４組か５組」ですよね？
で、
４組で「青・青・赤・黄」の同色ペアつくれば～とか「青・青・黄・黄」の同色ペアつくれば～と思いますが、このペアでは「４組だけ」にはなりません。かならず５組になるのでIIで数えた分とかぶります。

２つ目・３つ目の質問に関しては「それでもよい」です。確率なので分母、分子を同じように、「同様に確からしい」ルールで数えれば同じ答えが出てきます。
やってみましょう。３つ目はまんま６！でいいです。
・男子の赤二人とペアになるのは「赤と、青のどちらか」なので、並び順を考えると、２×２＝４通りです。
・男子の青二人とペアになるのは「さっき選ばなかった方の青と、黄色３人の誰か」なので３×２＝６通りです。
・男子の黄色２人とペアになるのは、「さっき選ばなかった黄色二人」なので２通りです。
以上かけあわせれば４×６×２＝48、となります。

II上と同様に考えて生きます。
・赤二人とペアは「赤と、黄色の誰か」より６通り。
・青二人とペアは「青二人」より２通り。
・黄二人とペアは「残りの黄色２人」より２通り。
以上かけあわせると６×２×２＝２４通り。

よって(48+24)/6!=72/720=1/10

一緒になることがわかると思います。でもめんどくさいですよね？自信がなければこっちでやることをオススメしますが、計算がうっとうしいです。

なぜ人の区別をしなくていいか…これは私が説明しても多分理解できないと思う(というのも私も感覚で解いているところがあり、厳密には答えられないのです)ので他の人にまかせるしかないですかね…
ヒントになるとすれば、「○人を３つのグループに分ける(人数比は自由)時、グループに名前があるか、ないか」の問題でしょうか。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

larme001 · Answer

(1)4組できる場合に限って場合わけをしているので、この場合黄色２、青２、を作ってしまうと必然的に赤１が赤とペアを作ることになり５組を数えてしまうので作れません。

(2)おそらく「確立の場合は同じものも区別する」というようなことをいたるところに書かれているので混乱しているのでしょうが、それは正しいです。が、あるものを並べる確立の場合は、全体の事象も同じものを一つと考えて計算する場合に限ってうまく分子分母がキャンセルされるので、このようにして計算して楽が出来ます。仮に、区別しないとすると、分子の黄色３人と青二人が入れ替わっても良い分だけ（＝3!x2!)×ことになりますが、これは分母で割っているものと同様です。
分かりにくければ、例題として、たとえば○２つと×２つから３つとって並べるときの×○○となる確立は？というような問題を１、とる球をそれぞれ区別する場合、２、区別しない場合を考えてみれば、なんとなく分かるはずです。まあ、順列の場合は例外的に楽できるとでも考えておきましょう。

(3)上の理由のとおりです。仮に、それぞれ人を区別した場合はおっしゃるとおり6!とすべきです。”何を一つの状態として区別するのか”をそろえましょう。

この問題は、少し解説が省略されているので分かりにくいと思われます。確立、場合の数はいわれれば簡単ですが、数え上げの過程が重要です。”黄色は２つそろわなければいけない”というのも単に書いてあればそれまでですが、自分で考えるとなると思ったより簡単にはたどり着けない可能性があります。重要なのは、１）男を固定して考える２）とりあえず４組できる、５組、、と場合わけすることに気付く３）その上で何が制約かを考えながら数え上げる。ということをすばやく、正確に出来るかどうかです。
たとえば黄色、赤青をそれぞれ○×△などとして４組出来る場合に△が一つだけそろうと、、、などを書き出してみると、絶対うまくいかないよって△２つのとき、、、と考えていくと意外と数え上げる場合は少なそうです。このように順序だって解いていくべきです。解答は、その過程で、気付いたことをいきなり書いているだけです。解答としては、綺麗ですが、解説としては省略しすぎで、初めからいきなり黄色が絶対そろうなどは気付くける人はあまりいないでしょう。

K29igawa · Answer

＃2です。
うまく説明できなくてごめんなさい。大学受験なんて、２０年以上も前のことなので、感覚が鈍ってしまっていて・・・

「青・青・赤・黄」のペアが成立していれば、必ずもう一組黄色のペアが成立します。＃３の方がおっしゃっている、５組成立するときのパターンです。よって、黄色のペアは２組できています。

受験、大変でしょうが、頑張ってください。

K29igawa · Answer

（1）「黄色2組青2組」であれば、黄のペアがちゃんと２組できてますよ。
（2）この問題は確率を求めるものです。確率とは、ある条件を満たす事象を総事象で割ったものですね。仮に、男子の青と赤は固定して、黄色についてのみ、黄Ａ・黄Ｂの並びの場合と黄Ｂ・黄Ａの順の場合があると考えれば、全体の組み合わせは２倍となりますが、同時に問題の条件を満たす組み合わせも２倍になるため、確率自体は変わりません。
（3）これも（2）と同じ理屈で、人を区別して考えれば確かに総数は6！ですが、その場合は、条件を満たす組み合わせも4+2＝6ではなくて、その2！3！倍になるわけですから、結局確率を計算する上では無視して良いことになります。

gyamboi · Answer

１．
＞黄色2組青2組でも4組できるのでは？
それって黄色２組の場合ですよね？黄色が一組だと、どうがんばっても
赤と青の男子がひとりずつしか残らないので、３組しかつくれません。

２．
男子と女子、両方動かしちゃだめです。片方動かして、またもう片方を
動かしたらもとと同じ組合せになってしまいます。

３．
女子の並べ方は、固定した男子に対して同じ色の組合せを４組以上実現
するときの総数を計算しなければいけません。

確率の問題 大学受験レベル教えてください！！

うーんややこしい^^;

(1)4組できる場合に限って場合わけをしているので、この場合黄色２、青２、を作ってしまうと必然的に赤１が赤とペアを作ることになり５組を数えてしまうので作れません。

＃2です。

（1）「黄色2組青2組」であれば、黄のペアがちゃんと２組できてますよ。

１．

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

確率の問題　大学受験レベル教えてください！！