φと｛φ｝と｛φ｛φ｝｝ 集合について

タイトルどおり　φと｛φ｝と｛φ｛φ｝｝　がそれぞれ異なることを
説明したいのですが　どう行えばいいのでしょうか？
解説がいまいちわかりません。
また　集合論を最近はじめたばかりの人(高校程度の知識はあります)に最適の本がありましたら教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/04/25 21:27

>要素数が異なるので自明 である と書けばいいのでしょうか？

集合論的には「数」の定義はだいぶ先だね。

例えば、φ≠{φ}は φは{φ}の要素だが、集合φは何如なる要素も持たず、特にφも要素ではないので、∃x(x ∈ {φ}∧￢(x ∈ φ)) が成立する。
外延性の公理から φ≠{φ}

という風かな。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2007/04/25 23:06

＞解説がいまいちわかりません。

その解説を書いてください。

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/04/25 19:06

門外漢の当方には禅問答に見えますけど...。

「自然数の公理」とは、
　0=φ
　1={φ}
　2=1 ∪ {1} = {φ,{φ}}
　3=2 ∪ {2} = {φ,{φ},{φ,{φ}}}
　.....
なのですね。

もっとアブストラクトな「表現」もありました。
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6% …
>自然数 / 自然数の公理

　0 := {}
　1 := suc(0) = {0} = {{}}
　2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{},{{}}}
　3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0,{0},{0,{0}}} = {{},{{}},{{},{{}}}}
　.....

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/04/25 18:08

要素数が違うから全く別の集合であることは明らかだと思うんだけど....

φ は空集合で要素数0,
{φ} は「空集合 (のみ) を要素とする集合」で要素数1,
{φ, {φ}} は「空集合と『空集合を要素とする集合』」の集合で要素数は2, ですよね?

この回答への補足

それでは 解答 をするときには 要素数が異なるので自明 である と書けばいいのでしょうか？

補足日時：2007/04/25 19:05