No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Xが対数正規分布に従うとして、その確率密度関数を、
f(x)=1/√(2π)σ・(1/x)exp{-(logx-μ)^2/σ^2}
とすると、Y=logX、すなわちX=exp(Y)なるYは、確率密度関数、
f(y)=1/√(2π)σ・exp{-(y-μ)^2/σ^2}
を持つ正規分布に従います。
よって、
E(X^k)
=E(exp(kY))
=∫(-∞,∞)exp(ky)・1/√(2π)σ・exp{-(y-μ)^2/σ^2}dy
を計算すればよいのですが、expの中身をyで平方完成すれば計算
できます。
k=1とすれば平均E(X)が求まり、k=2とすれば2次モーメントE(X^2)
が求まって、分散V(X)=E(X^2)-E(X)^2が計算できます。
この回答への補足
ありがとうございました!!!計算がなかなか大変です。一つお尋ねしたいのですが
Xが対数正規分布に従うとき、Y=logXが正規分布に従うということはどのように証明できるでしょうか??
No.2
- 回答日時:
先にも書きましたが、これは対数正規分布の定義で、対数をとると正規
分布に従うような分布を対数正規分布というのです。
あるいは対数正規分布の確率密度関数を先に与えておいて、Y=logXと
変換してYの確率密度関数が正規分布のものになることが計算で証明
できます。
対数正規分布のlog→正規分布
正規分布のexp→対数正規分布(上の式の逆操作)
計算は一見複雑に見えますが、平方完成するところだけが要点なので、
計算自体は中学生レベルです。
一般的に、変数変換した場合の確率密度関数の求め方が分からない場合
は、意味が分からないと思うので、この辺の基礎は教科書でご確認をと
いうことでご容赦を・・・
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