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半径rの円に内接する正n角形が存在します。
その正n角形の内、弦にあたる辺を底辺とし、弦の両端から中心に向かって線(長さr)を引き三角形を作ります。
この時の中心の角θは 2π/n とします。
ここで、この三角形の面積を出します。
三角形の二辺の長さとその間の角が判明しているので、公式より、1/2*r*r*sin2π/n=1/2*r^2*sin2π/n と求まります。
この三角形を利用して、正n角形の面積を求めたいのですが、その答えに辿りつくまでの説明がイマイチ理解できません。
答えは、1/2*r^2*n*sin2π/n なのですが、上の式よりnを掛けた説明ができません。
頭では理解しているつもりが、言葉に表すとハッキリと表せません。
何方かご教示願います。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>この時の中心の角θは 2π/n とします。
↑ここがすごく気になりました。
「この時の中心の角をθとおくと、θ=2π/n となる。」
あげ足をとるわけではなく、なんとなく気になったので、もしかして、
すっきりしないのは、
ここかな?と、昔の記憶をよせあつめて^^; 言葉にしてみました。
どこか矛盾しているかもしれませんが…
正n角形(n>=3)の頂点をP1,…Pn、内接している円の中心点をAとすると、
n個の三角形 P1P2A,…,PnP1A ができ、
それらは、それぞれ、P1P2,…,PnP1 を底辺とし、
P1A=P2A,P2A=P3A,…,PnA=P1A
なる二等辺三角形である。
また、
P1P2=…=PnP1
P1A=P2A=…=PnA
P2A=P3A=…=PnA=P1A
であるので、三辺が等しいことにより、これらn個の三角形は合同である。
ここで、三角形が合同であることより、
角P1AP2=…=角PnAP1
を得るが、一方、
角P1AP2+…+角PnAP1=2π
であるので、
角P1AP2=…=角PnAP1=θ
とおくと、
nθ=2π
従って、
θ=2π/n
また、正n角形の面積はこれらn個の合同な三角形の面積の和と等しいので、
内接している円の半径をrとおけば、正n角形の面積は
n*1/2*r^2*sin2π/n
となる。//
No.2
- 回答日時:
図を描けば、正n角形の場合、n個あることは分かりますが
それでは納得できないようですね。
簡単にいえば、2π/nの頂角をもつ三角形はn個あるに決まっている
ということでは、どうでしょう。
No.1
- 回答日時:
正n角形ですから「弦の両端から中心に向かって線(長さr)を引き三角形」は何個できますか? n個ですよね。
だから三角形の面積(1/2*r^2*sin2π/n )にnを掛けているだけのことではありませんか。
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