無限級数の発散、収束判定

Σ(n=1)^∞ a(a-1)(a-2)・・・(a-n+1)/n!の発散、収束判定をせよ、という問題なのですが、aの値の範囲が特に決まってないため、正項級数と限らず、判定法が使えずに困っています。絶対値をとって無理やり正項級数にしてしてみたのですがこのやり方は正しいのかどうか自身がないです・・・。

|an+1/an|というふうに絶対値をとって判定法に持ち込むやり方は正しいのでしょうか？それか他に解き方があったらアドバイスをお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： 31415926 回答日時： 2007/05/31 00:00

まずa<=-1のときはnが充分大きいとき

|an+1/an|＝｜(a-n)/(n+1)｜=(n-a)/(n+1) >= 1
なのでanが0に収束しない．よって級数は収束しないです．

a>-1のときは
a(a-1)(a-2)・・・(a-n+1)/n！
＝(-1)^n (-a)(1-a)(2-a)・・・(n-1-a)/n！
＝(-1)^n (1-(a+1)/1) (1-(a+1)/2)(1-(a+1)/3)…(1-(a+1)/n)
と変形します．交代級数なのでこれの絶対値がnを∞にしたとき
0に収束すればよいわけですが，n>a+1なら1-(a+1)/n>0
なので，logをとって考えて
Σ_{n=a+2～∞} log(1-(a+1)/n)=-∞を確かめればよい．
ここで0<x<1のときlog(1-x)<-xなので上の和は
-Σ_{n=a+2～∞}(a+1)/n=-∞で上から押さえられる.よってok.

これでどうでしょうか？

この回答へのお礼

なるほど、級数でn=a+2以降についてみていって、logをとることによっておさえられる事がわかるんですね・・・。本当に色々なやり方がありますね。私は、(1-(a+1)/1)・・・(1-(a+1)/n)の各々に対して大きいものを用意して、その大きいものが０に収束するという事を見ようと思ったんですが、なかなか見つからなくて困っていたところだったんです。もう少し頑張ってみたいと思います。

お礼日時：2007/06/05 00:40

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/05/26 14:21

|an+1/an|＝｜(n+1)/(a-n)｜となって、極限値が1なので、どうもうま

くいかないようですね。
ちなみにaが自然数のときは、n≧a+1の項は0になるので、収束です。
パッと見では、調和級数との比較で判定すればよいかなと思うので、
等比級数との比較を利用した２項間の比の極限値で判定する方法は使え
ないと思います。

a(a-1)(a-2)・・・(a-n+1)/n！
＝(-1)^(n-1)a(1-a)(2-a)・・・(n-1-a)/n！
＝(-1)^(n-1)(a/n)(1-a/1)(1-a/2)・・・(1-a/(n-1))
となるので、nが十分に大きくなるとライプニッツの交項級数になる感
じがします。絶対級数はnが十分大きくなるとΣa/n（調和級数）と同じ
くらいのスピードで発散する感じがします。

(-1)^(n-1)(a/n)(1-a/1)(1-a/2)・・・(1-a/(n-1))の絶対値が、nが十
分大きくなると、単調減少して0に収束するかどうか、(-1)^(n-1)(a/n)
の後ろにある(1-a/1)(1-a/2)・・・(1-a/(n-1))の評価などを考察する
と良いのではないかな、と思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！！

すごい！そうやって変形することで交代級数が導けるんですね！

そしたら後はライプニッツの定理から(a/n)(1-a/1)(1-a/2)・・・(1-a/(n-1))を正項級数にする為に絶対値をとって単調減少で極限が０であることがいえれば収束を示す事が出来るということで、まず単調減少であることを見る為に計算をしてみました。すると、

|an|^2-|an+1|^2＝(((1/n)a(1-a)(2-a)・・・(1-a/(n-1))^2)(1-((n-a)/(n+1))^2)となり、1-((n-a)/(n+1))^2>0であるにはa>-1という条件がでてきました。そして、後は極限が０であることがいえればいいんですが、簡単には導かせてはくれないようです・・・。頑張ってみます。

あと、発散の場合についてはa>-1の範囲外のa<=-1のときになるっていうことはいっちゃっていいんですかね？

重ね重ね質問ばかりで申し訳ないです。

お礼日時：2007/05/27 14:22

No.1 回答者： F_P_E 回答日時： 2007/05/26 12:57

はじめまして．

貴方の方法で正しいです．

詳しく言いますと，|an|の収束を判定することで，anが”絶対収束”することを確かめることができます．そして，絶対収束するanは収束することが知られているので，結局anが収束することがわかります．

がんばってください．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！！

絶対収束について教科書をよく見てみると載ってました！
絶対値とって極限とると１になってしまったのでRaabeの判定法を
使ってみたのですが複雑になってしまいました。
答えにたどり着くにはまだまだ道のりは険しいようです・・・。

いろいろ頑張ってみます。ありがとうございました！

お礼日時：2007/05/27 14:30