
数学のレポートで「自然数を0に含めるか否か」についての
問題を出題されました。
僕は、効率良く計算を行う為に後から発案されたもの
なので、元から存在していた訳ではない。したがって
0は自然数に含めないと考えております。
しかし、参考になりそうなHPを探していると0を
自然数に含めるという考え方もあるようです。
何故、含めると考えるのか理由が気になったのですが
詳しく書かれている文献を見つけることが出来ませんでした。
(検索の仕方が悪いのかな?)
「0を自然数に含める」と考える理由を
ご存知の方、お手数ですが高校生でも理解出来る程度で教えて
下さい。宜しくお願いします。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
(0から始まる派)
自然数に0を含めるほうが自然という考えかたの理由は、
・空集合を対応させるには0が自然(集合論から構成的に自然数を定義する手法での話)
・加法の単位元(x+e=xとなるe)があったほうが、代数構造として豊か
といった、先の回答者さん達のお答えの通りと思います。
これらの考えは、数の構造や定義の見直し・厳密化が行われた19世紀末頃に
整理された考えです。
(ニュートラル派)
また、No3さんご回答のとおり、ペアノの公理を出発点とするなら、
どっちでも良い話(∃1∈N・・・としてもよいし、∃0∈N・・・としても良い)
ですで、「0が入ってなきゃいけん」とかいう議論にはなりません。
(1から始まる派)
一方、
・自然数である「2,3,4を分解したときの、最小の部品(単位)」や、
・自然数を作るための最小の要素
というのなら、「1」とする方が自然ともいえます。
0は、どう料理しても、1や2や3を作るモトにはなりそうにありません。
といった、情緒的な理由(?)で、「自然数に0は含まない。あくまでも1から」
という主張にも一理あります。
小生、一応大学で数学を学びました(数学科)が、
「0を入れる流儀もあるが、自然数は1から始まる」という感じで捉えています。
No.4
- 回答日時:
数字の集合を考えるときに、その集合は「どのような構造をしているか」ということが大事になります。
例えば有理数という集合は足し算、引き算、掛け算、割り算が許されますが整数は割り算は許されません。
構造はゆるすぎると意味の無い集合になってしまいますが、制約が多すぎると使い勝手の悪い集合になってしまいます。
その中で自然数を考えると、0を入れることによって構造が大分ゆるくなり、0を入れないとかなり使い勝手の悪くなった部分が緩和されます。
加法に関して0をいれないと半群、0をいれるとモノイドになります。
半群<モノイド
自然数という集合が活躍する場が増えるためには0を入れておいた方が使い勝手がいいってことでしょう。
比較的、情報系の人は0を入れることが多いようです。
雰囲気だけでも伝わりましたでしょうか?
No.3
- 回答日時:
どっちの考えもあるようです。
したがって断定してはいけません。http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
ペアノの公理はこちら
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2% …
結局、自然数という集合をどう定義するかでしょう。
ご回答・参考になりそうなサイトのリンク
有難う御座います。
どちらも正解という事ですね。
でも高校の中間試験等で今回のような問題が
出たら0を含めるという事にしておいた方が
無難でしょうか。
No.2
- 回答日時:
高校までだと自然数に0は含めないですね。
歴史的経緯とかを考えてのことでしょうか。大学だと0を含めることが多いです。含めた方が扱いやすいので。
結局は何が自然かということでしょうね。
数学基礎論とか公理論的集合論の立場では自然数を構成的に定義していきますが、加法(足し算)一つを取っても0を除外すると面倒です。
大学で数学をやると0を含めるのが自然に思えます。
この回答への補足
数学の先生に伺ってみたところ、やはりrinkunさんの
仰るとおり、高校では自然数に0は含めないと言われました。
数学基礎論・・・
公理論的集合論・・・
わからない用語が多くて頭がショートしそうです^^;
時間をかけてじっくり調べてみることにします。
ご回答有難う御座いました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
今、見られている記事はコレ!
-
弁護士が解説!あなたの声を行政に届ける「パブリックコメント」制度のすべて
社会に対する意見や不満、疑問。それを発信する場所は、SNSやブログ、そしてニュースサイトのコメント欄など多岐にわたる。教えて!gooでも「ヤフコメ民について」というタイトルのトピックがあり、この投稿の通り、...
-
弁護士が語る「合法と違法を分けるオンラインカジノのシンプルな線引き」
「お金を賭けたら違法です」ーーこう答えたのは富士見坂法律事務所の井上義之弁護士。オンラインカジノが違法となるかどうかの基準は、このように非常にシンプルである。しかし2025年にはいって、違法賭博事件が相次...
-
釣りと密漁の違いは?知らなかったでは済まされない?事前にできることは?
知らなかったでは済まされないのが法律の世界であるが、全てを知ってから何かをするには少々手間がかかるし、最悪始めることすらできずに終わってしまうこともあり得る。教えてgooでも「釣りと密漁の境目はどこです...
-
カスハラとクレームの違いは?カスハラの法的責任は?企業がとるべき対応は?
東京都が、客からの迷惑行為などを称した「カスタマーハラスメント」、いわゆる「カスハラ」の防止を目的とした条例を、全国で初めて成立させた。条例に罰則はなく、2025年4月1日から施行される。 この動きは自治体...
-
なぜ批判コメントをするの?その心理と向き合い方をカウンセラーにきいた!
今や生活に必要不可欠となったインターネット。手軽に情報を得られるだけでなく、ネットを介したコミュニケーションも一般的となった。それと同時に顕在化しているのが、他者に対する辛らつな意見だ。ネットニュース...
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∈と⊂の違いは何ですか?
-
数字の上のバー
-
高1数学
-
有理数÷有理数は絶対有理数なん...
-
1から100までの自然数で、3,4,5...
-
形式言語 チョムスキー標準形
-
数学でのセミコロンについて
-
空集合について〇か×か返答をお...
-
数学で、数字の上にある横線の意味
-
戸建てと集合住宅の違いを教え...
-
集積点が、まったく分かりませ...
-
R\\{0} って、0を除く実数って...
-
巾集合
-
数学の集合で閉じているの意味...
-
数字は存在するのか
-
6以下の自然数全体の集合の要素...
-
空集合のべき集合
-
この黄線で、囲んだ部分の縦線...
-
保育園・幼稚園で集合写真を購...
-
何故線型空間はあっても、非線...
おすすめ情報