☆統計☆男女を一人ずつ選んだ時男の方が背の高い確率

Question

ただ今受験のために統計を勉強しているのですが
２日考えたのですが
この問題が難しくてわかりません涙
P(z)＝(X-平均）/標準偏差 
を使うということだけは分かったのですが
Xに何を入れて良いのか考え始めると頭がフリーズしてしまいます＞＜
ヒントだけでも大歓迎なのでよろしくお願いいたします。

ある大学の生徒は 
男性の身長が平均170cm，標準偏差10cmの正規分布をしていて
女性の身長が平均160cm，標準偏差9.8cmの正規分布をしている
とすると 
男女それぞれからランダムに1人ずつ取り出した場合に 
男性の方が女性より背が高い確率はおよそ何％ですか。 

ちなみに一緒に載っていた標準正規分布の下側確率です。 
Pr(Z<.7)＝0.76 
Pr(Z<1.0)＝0.84 
Pr(Z<1.3)＝0.90 
Pr(Z<1.4)＝0.92

Ishiwara · Accepted Answer

＃１です。
一度は統計をおやりになったのであれば、思い出すために、確率分布・正規分布・標準偏差などのいろいろなキーワードを使ってネット検索をされてはいかがでしょう。
正規分布は、最もポピュラーな分布型で、左右対称の釣り鐘形をしており、「平均」と「分散」という２つのパラメータで決まります。「分散」の平方根を「標準偏差（σ：σ）」といい、「平均」と「標準偏差」で決まる、ということもできます。
中央部が「上に凸」、周辺部が「下に凸」です。「上に凸」の区間の幅の半分が標準偏差と考えればいいでしょう。この区間の面積は、全体の約６８％に当たります。
分散は、(([各データ]と[平均値]との差)の二乗)の平均値、で計算されます。
「男－女」とは、ランダムに男１人、女１人を取り出し、身長の引き算をしたものです。これを無限回繰り返して度数分布を作ると、その中心（平均）は「男の平均」－「女の平均」になるはずです。またそのときの分散は「男だけの分散」＋「女だけの分散」に等しくなります。言い換えれば、「男－女」のσは、（[男のσ]の２乗＋[女のσ]の２乗）の平方根です。計算すると14になります。
問題は、[男－女]のグラフで、縦軸の右部分の面積をきいているわけです。ですから「手がかり」は、中心のズレをσで割った値（ここでは10÷14＝0.7）です。正規分布を 0.7σの点で左右分割すれば、多いほうは ７６％、少ないほうは２４％になります。

統計学の入門書は無数にあります。書店で、最初は「なるべく数式の少ないもの」を選びましょう。計算式よりも「各用語の存在理由」をしっかりと捉えることがたいせつです。

Ishiwara · Answer

「男」が（170,10）の正規分布
「女」が（160,9.8）の正規分布
をするとき、
「男－女」は（170-160,√（10^2＋9.8^2））の正規分布をします。
このグラフの縦軸から右の面積が、男－女＞０となる確率（答）です。
さて、このグラフは中心が１０センチ右にずれていますね。このズレはシグマの何倍にあたるでしょうか。
それが分かれば、正解は、問題文の最後に示された４つの中にあることが分かります。

Ishiwara · Answer

＃１,２です。＃２で（σ：σ）とあるのは（σ）の誤記です。すみません。 

> (1)分散が男子＋女子なのはこれら２つについての分析をしているからその分身長の層が広がっているため、ですよね？

そのとおりです。
a) 大きい男と小さい女を選ぶことがある
b) 小さい男と大きい女を選ぶことがある
この両者は同じ確率で起こります。ですから、うっかりすると、統計量[男－女]の分散は、もとの分散から増えなくてもいいのではないか、という感じがします。
しかし、そのカギは「２乗」にあります。２乗するので、a) が引き起こした分散の拡大を、b) によって帳消しすることができません。これが「かきまわす」たびに分散が大きくなって行く理由です。

> (2)中心のズレをσで割った値（ここでは10÷14＝0.7）というのは標準化しているんですよね？（０－１０）÷１４＝－０．７で －０．７以上のところが男子の方が身長が高い割合ですよね。

まったくそのとおりです。

☆統計☆男女を一人ずつ選んだ時男の方が背の高い確率

「男」が（170,10）の正規分布

＃１です。

＃１,２です。

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