掛け算「９」のなぞ。

Question

どういう風に質問したらよいか、言葉が難しいのですが・・・

１×９＝９
２×９＝１８
３×９＝２７
４×９＝３６
５×９＝４５
６×９＝５４
７×９＝６３
８×９＝７２
９×９＝８１

と、掛け算の「９の段」を挙げました。
その答えの数字の２桁を互いに足していくと、どうしてみんな「９」なのですか？

１＋８＝９　２＋７＝９・・・のように。

すごく判りやすく教えていただけますでしょうか？
お願いします。

ymmasayan · Accepted Answer

実は９の倍数の判定法がそれなんですよね。（２２２２１）は９の倍数です。
２２２２１／９＝２４６９。　　素晴らしい着想ですね。

こういう説明でいいかどうか自信はないですが、
２２２２１をａｂｃｄｅで表します。ａ×１００００＋ｂ×１０００＋ｃ×１００+ｄ×１０＋ｅが３の倍数であれば、
ａ×（９９９９＋１）＋ｂ×（９９９＋１）＋ｃ×（９９＋１）＋ｄ×（９＋１）ｅ
３の倍数を全て消すと残りはａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ…これは当然、３の倍数なのですよね。

jun95 · Answer

純粋に数学的な疑問だったのですね。
わたしは、chirorinrinさんのお子さんか誰かが不思議に思ったのかなと誤解していました。

つまり、左側は、１から９まで並んでいて、右側が９であるところだけ、右項の数字を分解して足すと、９になる不思議が疑問なのでないかと思いました。

たとえば、占いの一種である「数霊」は、１から９の数字になるまで、分解して足していきます。古代中国では、０という概念がなかったので、１から９の数字で完全な世界を表せると考えられていました。これが、現代の気学につながっています。

数学的な回答でなく、申し訳なかったのですが、私が考えたことの背景には、このようなことがありました。

ymmasayan · Answer

４回目です。
これで終わりにしますね。

＞　計算機で『１４２８５７』と打ってください。
＞　面白い物が見られます。 
＞　既に知っている事だったら・・・・失礼致しました！！

これって本当に不思議なんですよね。宇宙の神秘を感じます。（！？）
実はこれ、１／７の循環小数…０．１４２８５７１４２８５７１４２８５７・・・
の頭６桁なんです。足し算していくとなぜだかおっしゃるような事になるのです。
数字って本当に不思議ですね。

私は普通人で、数学の不思議に少しだけ興味をもっている人間です。（あなたと同じです）　大変失礼しました。

poti2 · Answer

いろいろな解答がでているのでなぜなるのかは
もう分かっているでしょう。
　だからここでは違う視点で見てみます。
前の方達も言われているようにこれは倍数判定法の特殊なものとして現れた
ものですね。
　でも少し視点をずらしてみるとこれは10進表記の倍数判定法だったのだと
気づきます。
　これと同じような現象はn進表記法で考えたｎ－１の倍数でも現れます。

たとえば７進法で6(=7-1)の倍数を考えて見ましょう。
　１×６＝６ 
　２×６＝１５
　３×６＝２４ 
　４×６＝３３ 
　５×６＝４２ 
　６×６＝５１ 
（７進表記で表しています。）
どうです、それぞれの桁の和は７になっているでしょう。
実はこの理由も前の方達が説明してくれたものと本質的に同じものです。

ymmasayan · Answer

３度目の登場です。余計な事かも知れませんが。
桁ごとにばらばらにした数字を足す事に何かの後ろめたさを感じておられるようですが。
数学の歴史（人類の歴史？）はできなかったものを出来るようにすることと同じ位、もっと簡単に、早くできるようにという事が重要視されてきました。
「判定」が重要なのはその意味です。早くわかれば無駄な努力をしなくて済むわけです。台風の進路予報なども判定の１種といったら怒られるかも知れませんが。

いずれにしても、今回の問題提起は数学の種はどこにでも転がっている。又、数学は結構面白いものだという事を見せ付けてくれました。事実、たくさんの方が回答を寄せられています。

最後に、（ご存知だったらご免なさい）うるう年の判定法を。
「西暦が４００の倍数ならうるう年である。そうでない場合、４の倍数であって、しかも１００の倍数でない年もうるう年である」
ここでも倍数の判定が大活躍するのです。
もちろん１００の倍数の判定は下２桁が００ですが、４００の倍数の判定法は、ヒ・ミ・ツ。

ymmasayan · Answer

＞判定法・・・そういうのが必要な時があるのですね。そうなんですか・・・ 
それ以外の数字の判定法もやはりあるのでしょうか？ 

あなたは、実は素晴らしい発見をされたのです。ただ、惜しいのは世界で最初ではなかったという事です。
２の倍数の判定法…下１桁が２で割れること。
３の倍数の判定法…全部の桁の数字を足して３で割り切れる事。
４の倍数の判定法…下２桁が４で割り切れる事。
５の倍数の判定法…下１桁が０または５である事。
６の倍数の判定法…２の倍数であって、かつ、３の倍数である事。
９の倍数の判定法…全部の桁の数字を足して９で割り切れる事。

もう一度言いますが、あなたは、最後の９の倍数の判定法を、独自に、世界で何番目かに発見されたのです。遅かったのが惜しいとはいえ、実におめでとう。

Mell-Lily · Answer

「9の倍数である、二桁の自然数の十の位と一の位の和は、9の倍数である。」

【証明】
十の位がa、一の位がbである数nは、
　n = 10a+b
と表すことができる。すると、
　n = 10a+b = 9a+(a+b)
だから、nが9の倍数ならば、
　n = 10a+b = 9a+(a+b) = 9m
である。よって、a+bは9の倍数である。

これは、nが何桁の自然数でも、成り立つ事柄です。また、他にも、似たような例があります。≫参考ホームページ。

参考URL：http://sanzyutsuman.arot.net/Pages/unit6.html

jun95 · Answer

１Ｘ８＝８　　－－＞８
２Ｘ８＝１６　－－＞７
３Ｘ８＝２４　－－＞６
４Ｘ８＝３２　－－＞５
５Ｘ８＝４０　－－＞４
６Ｘ８＝４８　－－＞１２
７Ｘ８＝５６　－－＞１１
８Ｘ８＝６４　－－＞１０
９Ｘ８＝７２　－－＞９

８は、２の公倍数なので、２の性質同じようになります。

１Ｘ３＝３
２Ｘ３＝６
３Ｘ３＝９
４Ｘ３＝１２　－－＞３
５Ｘ３＝１５　－－＞６
６Ｘ３＝１８　－－＞９
７Ｘ３＝２１　－－＞３
８Ｘ３＝２４　－－＞６
９Ｘ３＝２７　－－＞９

９の最大公約数である３の段になりますと、このような規則が見いだせます。「９の段」というのは、この３の性質のなかにある、９、１８、２７というのと同じになります。

なぜ、このようになるかは、１０進法という計算方法や素数という数字の基礎になるものを知らないときれいには説明しにくいのですが、なぜ、９の段を足すとこのようになるのかというのは、「偶然」なのです。

小学生の方に説明するには、なかなか難しいですね。

yumori3 · Answer

あくまでも個人の説明で、感覚的なものですが、
『そろばん』を使ったことはありませんか？
そろばんで考えると、感覚的に納得してもらえるかと思います。

そろばんは真ん中に枠があり、上部に１個、下部に４個の珠を
串刺しにした棒が並んでいます。
「０」のときは、上部、下部の珠は真ん中の枠からそれぞれ離しておきます。

「１」「１プラス１で２」・・・とそろばんで数を一つずつ増やして
表現してみましょう。
「１」で下部の珠を１個上に動かして真ん中の枠にくっつけます。
「１プラス１で２」でもう１個下部の珠を上に動かし・・・。

「４プラス１で５」では下部の珠をすべて下側に動かして真ん中の枠から離し、上部の珠を下に動かして真ん中の枠にくっつけます。

「９」になると、串刺しの珠が上下とも真ん中の枠にくっつきますね。
これで五個の珠が真ん中の枠に集まっています。

「１０」だと、この集まった珠をすべて外側へ動かして真ん中の枠から離し、
左隣の棒の下部の珠を１個上に動かします。
今までの珠の棒が「一の位」の棒で、
左隣に順に「十の位」「百の位」・・・と並んでいます。
（真ん中の枠には串刺しの棒四本ごとに目印の点があり、
一や十などの位の位置を示しています）

さて、上記の『９の掛け算』ですが、言い換えれば、
「９プラス９」の『足し算』を何回したか、といえます。

これをそろばんで動かして見ますと、
真ん中の枠に集める珠は必ず、一と十の位の珠のうち５個だけです。
例えば４×９＝３６は　２７＋９＝３６で、
一の位の「７」の珠のうち１個を下へ動かして、
十の位の「２」の珠に、１個の珠を上に動かしてくっつける、という具合です。
だから、９の掛け算の答えの合計は、必ず９になるのが視覚的にわかります。
（説明が上手く伝わればよいのですが）

あくまでも視覚的なものですが、いかがでしょうか。

noname#6248 · Answer

小学生でもわかるような説明を書いてみます。
１×９＝９ 
２×９＝９＋９＝１８ 
３×９＝９＋９＋９＝２７ 
４×９＝９＋９＋９＋９＝３６
ですよね？
１０－１＝９ですから
「９を足す」と言うのは「１０を足して１を引く」のと同じですよね？
これは
十の位が１増えて一の位は１減るんです。
だから９×１０＝９０までは成り立ちます…
９×１１からは駄目ですね…

掛け算「９」のなぞ。

実は９の倍数の判定法がそれなんですよね。

この回答への補足

純粋に数学的な疑問だったのですね。

４回目です。

いろいろな解答がでているのでなぜなるのかは

３度目の登場です。

この回答への補足

＞判定法・・・そういうのが必要な時があるのですね。

「9の倍数である、二桁の自然数の十の位と一の位の和は、9の倍数である。

この回答への補足

１Ｘ８＝８ －－＞８

この回答への補足

あくまでも個人の説明で、感覚的なものですが、

小学生でもわかるような説明を書いてみます。

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