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√(-2)×√(-3)

は通常

√(2)i×√(3)i = √(6)i^2 = -√(6)

と解きますが、

なぜ
√(-2×-3) = √(6)

としてはいけないのでしょうか。よろしくお願いいたします。

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平方根」に関するQ&A: 平方根

A 回答 (6件)

まず数学的に回答します。


 
厳密にいうと、そもそも
 
 √(-3)
 
のような書き方をしてはいけません。
√aの定義は「2乗してaになる数のうちの正の値の方」なので、aが負や複素数では『正の値』の解が存在しないためです。
よく
 
 i=√(-1)
 
という表記を見ますが、これはiを直感的に理解するための方便であって実際に使ってはいけません。
数学の専門書ではこのような表記はされないか、あっても例外的な表記である旨のただし書きがあるのが普通です。
 
複素数には正負も大小関係もないので、2つある「2乗して-3になる数」の一方を√(-3)、他方を-√(-3)などと選別することは不可能なのです。
 
もっというと実は、iと-iも区別できません。この二つは代数的に完全に平等です。
2乗して-1になる2つの数のうち、どちらをiと決めたのかを説明した本を見たことは無いでしょう?
 
 
 
次に算数的に回答します。
 
i = √(-1)のような書き方を認めて√a×√bと√abを比べてみましょう。
 
まず、 i × i = -1 なので√(-1)×√(-1) = -1 です。
 
一方、√(-1×-1) = √1 = 1 です。
 
従って、√(-1)×√(-1)≠√(-1×-1)である事がわかります。
なので、√(-2)×√(-3)≠√(-2×-3)なのです。
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この回答へのお礼

なるほど!! よくわかります!!

お礼日時:2007/07/04 10:31

大学になって、多価関数てのを習うと、


任意の複素数z,wについて
√z * √w = √(zw)
てのが、(多価関数の意味で)成立することがわかります。

あるいは、リーマン面ていうのを考えて√を1価関数にしても、その上で
√z * √w = √(zw)
が成立します。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1093455.html
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この回答へのお礼

多価関数?リーマン面?なんだか難しそうですね…

大学の知識を使えば成立するということなのですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/22 11:21

まず、ルートの定義をはっきりさせましょう。


実は、√x は次のように定義されています。

x が実数で x > 0 のとき → 2乗して x になる数のうち、正のもの
x が実数で x = 0 のとき → 0 (これは当たり前ですね)
x が実数で x < 0 のとき → √(|x|) i

例を挙げれば、

√4 = 2
√(-4) = √(|-4|) i = √(4) i = 2i

となります。ですから、

√(-2) × √(-3)
= √(|-2|) i × √(|-3|) i
= √(2) i × √(3) i
= √2 × √3 × i^2
= √6 × (-1)
= -√6

となり、a<0 , b<0 であれば、√a×√b = √ab は成り立たなくなってしまいます。

不可解に思えるかもしれませんが、それには理由があります。
√x の定義を x ≧ 0 の場合から拡張するときに、
どうしても無理が生じてしまうのです。
ルートの中身を複素数まで広げて考えると、そのことがよくわかります。
x が複素数のとき、√x は次のように定義されています。

x が下記の例外に当てはまらない場合
 → 2乗して x になる数のうち、実数部が正のもの
例外として、x が実数で x < 0 の場合
 → 2乗して x になる数は √(|x|) i と - √(|x|) i だが、
   どちらか一方に定義しなければならないため、
   √x = √(|x|) i と定義する

この定義によると、

i^2 = (-i)^2 = -1 なので、2乗して -1 になる数は i と -i だが、
 定義により、√(-1) = i である
(0.00001 - i)^2 = (-0.00001 + i)^2 = -0.9999999999 - 0.00002i なので、
 2乗して -0.9999999999 - 0.00002i になる数は
 0.00001 - i と -0.00001 + i だが、定義により√は実数部が正のものなので
√(-0.9999999999 - 0.00002i) = 0.00001 - i

となります。
-1 のルートをとると i ですが、
-1 に非常に近い数である -0.9999999999 - 0.00002i のルートをとると、
i とは反対側の、-i に近い数になってしまいます。
これは不可解に思えるかもしれませんが、こう定義するより他にないのです。
そんなわけで、ルートの定義を拡張すると、例えば √a×√b = √ab のような、
当たり前と思える公式も成り立たなくなってしまうのもやむを得ないといえます。
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単純に、√の計算は「根号の中身が正」のものに限って成立する計算であり、「根号の中身が負」のものに対しては成立しません。



これは中学の教科書に立ち戻ってよく確認していただければ、わかると思います。

ですので、「根号の中身が負」のまま√の計算 √(-2×-3) = √(6) をしてしまったので失敗してしまったのです。

√(-2)×√(-3)
= √(2)i×√(3)i ← i の定義より
= √(6)i^2 ← √の計算を使用
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この回答へのお礼

>単純に、√の計算は「根号の中身が正」のものに限って成立する計算であり、「根号の中身が負」のものに対しては成立しません。

はい理解しています。しかしなぜ成立しないのかが気になって…

お礼日時:2007/06/22 11:25

2乗して負数になる数は実際には存在しません。

それを虚数iに置き換えているだけです。

√(-1×2)×√(-1×3)=√(-1)×√(2)×√(-1)×√(3)
=-1×√(2)×√(3)=-√(6)

となり√(-2×-3)=√(6)とはなりません。
√(-1)×√(-1)=1とはならないのは分かるでしょ?
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端的にいってしまえば


\sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1
\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1
よって,
\sqrt{-1}\sqrt{-1}と\sqrt{(-1)(-1)}は異なる.

よーく根号の計算の規則をみましょう
中学校三年生の教科書なんかにはかならず
a>=0,b>=0のとき
\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}
とあります.

もうちょっというと,そもそもは
\sqrt{-3}
というのは「二乗して -3 になる数」の一つ表す記号にすぎません
ところが,i を使うことで「二乗して -3 になる数」の
一つを \sqrt{3}i と表記できることになります
そこでこの \sqrt{3}i を \sqrt{-3} のこと約束すると
もうひとつの方は -\sqrt{3}i であって -\sqrt{-3} と
表記すると丸く収まるというわけです.
更に根号の中を正にしておくことで,
今までの根号の計算規則がそのまま運用できることになります.
#上の記述,厳密ではないですが,
#まあ,大筋ってことで.
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この回答へのお礼

sqrtというのはルートのことなんですね?

ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/22 11:23

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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3099223.html

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5/4=1.25ですからこれに最も近い整数はx=1。
この時f(x)の最小値f(1)=-19

ちなみにf(2)=-18でf(1)より大きいですね。

>|f(x)|の最小値
f(x)=2x^2-5x-16=0とおくと
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最も近い x=4 または -2 のいずれかです。
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従って|f(x)|の最小値は|f(-2)|=2

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Q√(ルート)の解き方  (急いでます。)

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整数の√の例題と分数の√の例題を作ってみました。
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▶ 整数の√

√108
108=2x2x3x3x3→√108=2x3√3=6√3

√88
88=2x2x2x11→√88=2√(2x11)=2√22

のようにルートの中を素因数分解して、同じ因数が2つ物を1つにして√の前に出し、ルートの前同士、ルートの中同士かけて答えとします。

√9216
9216=2x2x2x2x2 x 2x2x2x2x2 x 3x3
√9216=2x2x2x2x2 x3
  =32x3=96

▶ 分数の√

√(108/88)
先ず分数の分子、分母それぞれを因数分解する
108=2x2x3x3x3
88=2x2x2x11
つぎに分子と分母の約分をする
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108/88=3x3x3 / 2x11=2x3x3x3x11 / 2x2x11x11

同じ因数が2つある場合は√の前に因数を括りだす。
√(108/88)=3 √(2x3x11) /(2x11)
     =3(√66)/22

√(6/5)
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[要点]
分数のルートは
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√(108/88)
先ず分数の分子、分母それぞれを因数分解する
108=2...続きを読む

Q-2の二乗と(-2)の二乗の違いについて

中学生を相手に数学を教えています。
その中で、-2^2+(-2)^2という問題がありそれについての説明に困りました。

-2の二乗は-4で(-2)の二乗は+4・・・という事がわからないようで

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(-2)の二乗は "(-1×2)の二乗" という事だから4と
とりあえず説明しましたが、まだ納得いかないようです。

なんとか上手い説明を教えて/考えて貰えませんか?

Aベストアンサー

二乗はけちで目の前の物しか二乗してくれません。

-2^2だと目の前は、2なので2が二個かけられている
-2*2=-4

(-2)^2だと目の前は、)←これ
()は二つで一つなので()が二個かけられている
よって(-2)*(-2)=4

中三で因数分解を学ぶまでは
数字の変形が上手く出来ない場合が多いので
あえて、本質からそれた方法を使ってみました。

-2=-1*2であることを理解し
使いこなせているならば、ここで戸惑わないと私は判断しました。

Q√ ルート 定義

『ルート(√)a』とは、『2乗してaになる数』のうち,【正の数のことを指す】
と中学校で学習します。

中学校では、虚数の概念がないので致し方ないと思います。

例えば、√25=5などです。

冪根(power root)とは、
ある数aと自然数nについて,n乗してaとなる数をaのn乗根という。
です。ここで25の2乗根(平方根)は±5です。


高校数学で虚数を学んだ後では、√25=±5は成り立たないのでしょうか?

高校数学以上でも、
√(ルート)の定義は、『2乗してaになる数』のうち,【正の数のことを指す】
なのでしょうか?

どこか釈然としません・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

高校だと、微妙ですねえ。

大学で複素関数をちゃんと習うと、√a は多価関数であり、
一価な枝を取り出すには、定義域と地域を適切に制限しなければならないし、
それをどうやったか明示してから使わなければならない
ということが解るんですが…

高校での虚数の扱いは、二次方程式を解くだけですからね。

複素関数を知った立場では、実関数 √ と、複素多価関数 √ と、
その一価の枝 √ は、それぞれ別のものです。
√ が実関数 √ を表しているときには、√25 = 5 だし、
複素多価関数 √ を表しているときには、√25 = ±5 だし、
複素一価関数 √ を表しているときには、枝の取りかたによって
√25 = 5 か √25 = -5 かのどちらか一方です。

別のものを同じ記号で書くと混乱するので、記号を使う文脈のほうに、
そのつど、意味の説明を書いておかなければならないのです。

Q数学のもんだいで指数の計算なんですが、ルートの中にマイナスがあるやつは

数学のもんだいで指数の計算なんですが、ルートの中にマイナスがあるやつは、そのままふつにルートからだして-ルートってして良いんでしたっけ?
だしていいとしたら、どうして答えはかわらないのですか、ひさしぶりにトいたら完全にわすれてましたってたので、どうか教えてください

Aベストアンサー

オイラーの公式(参考URL参照)は高校数学で習いましたね。
高校の教科書を見れば「-1」は「e^(iπ)」に等しいことはわかりますね。
そして単位円を描けば周期2πの多価関数であることも理解できるでしょう。

-1=cosπ=cos(π)+isin(π)=e^(iπ)=e^(iπ+i2nπ)
この3乗根をとれば
(-1)^(1/3)=e^(iπ/3+i2nπ/3)(n=0,±1)
n=0のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ/3)=(1+i√3)/2
n=1のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ)=-1
n=-1のとき(-1)^(1/3)=e^(-iπ/3)=(1-i√3)/2

(-1)^(1/3)は
実数の範囲では-1になります。
複素数の範囲では-1,(1±i√3)/2の3つの値を持ちます。

たとえば
(-27)^(1/3)={(3^3)^1/3}(-1)^(1/3)=3(-1)^(1/3)
なので

(-27)^(1/3)=-3,3(1±√2)/2(複素数の範囲で考えたとき)

(-27)^(1/3)=-3(実数の範囲で考えたとき)
となります。

実数の範囲で3乗根を考えるときは、「-」の符号を3乗根根号の外に出せます。
複素数の範囲で考えるときは、符号を根号の外にそのまま出せませんね(虚数の3乗根については当てはまらないからです。)

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式

オイラーの公式(参考URL参照)は高校数学で習いましたね。
高校の教科書を見れば「-1」は「e^(iπ)」に等しいことはわかりますね。
そして単位円を描けば周期2πの多価関数であることも理解できるでしょう。

-1=cosπ=cos(π)+isin(π)=e^(iπ)=e^(iπ+i2nπ)
この3乗根をとれば
(-1)^(1/3)=e^(iπ/3+i2nπ/3)(n=0,±1)
n=0のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ/3)=(1+i√3)/2
n=1のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ)=-1
n=-1のとき(-1)^(1/3)=e^(-iπ/3)=(1-i√3)/2

(-1)^(1/3)は
実数の範囲では-1になります。
複素数の範囲では-1,(1±i√3)/2の3つの...続きを読む

Q複素数 虚数単位 i 定義 について

虚数単位iの定義について教えて下さい。

Wikipediaによれば、
虚数単位iは、-1 の平方根(2乗して -1 になる数)である2つの数のうちの
1つのことである(どちらかを特定することはできない)。
i^2=-1

と記載されています。

虚数単位iは
i=√-1またはi=-√-1のうちのどちらか1つという理解で良いでしょうか?
Wikipediaには、i=-√-1という記載はありませんが、
「虚数単位iは、-1 の平方根(2乗して -1 になる数)である2つの数のうちの
1つのことである」とは√-1と-√-1の事を言っていますよね?

また、2つの数のうち1つの事と言うのを、i=±√-1と表す事は間違いでしょうか?

i=-√-1が使われているのを見たことがないのですが、-√-1を
用いる場合もあるのですか?


以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

> >あと平方根も2価関数です
> これは、なぜでしょうか?
> 例えば√25=5ですが、どうして2価関数となるのでしょうか?

根号√は平方根のうち非負の方を示すので単純に関数ですが、
25の平方根は-5もあるので2つの値があり2価になります。

Q複素数√(z1)√(z2)≠√(z1*z2)??

すぐ下の質問を考えているうちに自分も同じ疑問を持ってしまいました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1092832

左辺と右辺をそれぞれ計算してみたのですが、
z1=r1exp(jθ1)
z2=r2exp(jθ2) r1,r2≧0 -π/2≦(θ1,θ2)≦π/2
とおいて
左辺={r1*exp(jθ1)}^(1/2)*{r2*exp(jθ2)}^(1/2)
  =(r1^(1/2)*exp(jθ1/2)*r2^(1/2)*exp(jθ2/2)
  =(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2}

右辺={r1exp(jθ1)*r2exp(jθ2)}^(1/2)
  =[r1r2*exp{j(θ1+θ2)}]^(1/2)
  =(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2}
  =右辺
と式が成立してしまいます。どこが間違えているのでしょうか?具体的に何処がいかなる理由で間違いなのか教えて下さい。

Aベストアンサー

左辺={r1*exp(jθ1)}^(1/2)*{r2*exp(jθ2)}^(1/2)
  =(r1^(1/2)*exp(jθ1/2+mπ)*r2^(1/2)*exp(jθ2/2+mπ)
  =(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2}

右辺={r1exp(jθ1)*r2exp(jθ2)}^(1/2)
  =[r1r2*exp{j(θ1+θ2)}]^(1/2)
  =(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2+nπ}

常に左辺=右辺とは限らないということになると思います.

Q平方根を含んだ式の大小比較

はじめまして。


√7と3の大小比較などは、2乗して比べるなどして簡単にできますが、
それでは
[4√7+6]と[6√6-1]などといった、平方根を含んだ式同士の大小比較は可能なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

4√7+6>6√6-1 
⇔ 4√7+7>6√6
⇔ (4√7+7)^2>(6√6)^2
⇔ 56√7>55
---------------
56√7>56*1>55


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