ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

以下の問題についてお解りになる方、どうかご教授お願いします。
なるべく文章で表現したつもりですが、実際には図を見て回答するため、これだけではわからない!となるかもしれません。


問題

符号長7の二元巡回(7,4)の符号器を使用する。
この時、巡回符号の生成多項式を

g(x) = x^3 + x + 1

とする。



問題1
情報桁を表す多項式が x^2 + x +1  であるとき
符号器が出力する符号多項式はどのようなものか。

問題2
この巡回符号のパリティ検査行列を求めよ。

問題3
この巡回符号の符号語を送信したとき、
受信多項式 y(x) が x^5 + x^4 + x^3 + x^2 +1
であるとする。この受信多項式y(x)の誤りを訂正せよ。

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A 回答 (3件)

ネット上には巡回符号のことは書かれていますが


内容が難しく書かれているわりに実際に適用する方法が明快に書かれていない。問題だけで回答例がない。検査行列の作り方が書かれていない。
誤り訂正の例題が書かれていないので実際の誤り訂正の仕方が分からない。検査行列を求める前のg(x)で割り切れれば受信データは正しい(誤りなし)。割り切れなければ誤りありと判断する。という所まで書いてあって誤り訂正可能、しかしその仕方が書いてない。といった解説が多いですね。
今回のケースを考察してまとめると

検査行列H=
[1 0 1 1 1 0 0]
[1 1 0 1 0 1 0]
[0 1 1 1 0 0 1]

送信データX=[0111001]
2ビットのエラー発生して
受信データY=[0101101]
となった場合を考えると
誤りベクトルY・H~=[0 0 1]
これは検査行列Hの7列目に一致する。
誤りがない場合は誤りベクトルは[0 0 0]となるので誤りありと判定される。
受信データYに1ビットだけの誤りが含まれるなら
誤り訂正されたY'=[0101100]は正しい送信データとして判断してよい。
しかし2ビットの誤りが含まれている今回のケースでは
訂正された復号化されたデータY'[0101100]は正しい送信データと一致して
おらず正しく訂正されません。

つまり符号長7の二元巡回(7,4)符号のパリティチェックでは
誤りベクトルから判ることは次のことです。
■[0 0 0]→誤りなしで受信データは正しい。
■[0 0 0]以外→誤りあり、1ビットの誤りは訂正できる。2ビット以上の誤りは訂正できない。
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この回答へのお礼

教科書を見ても長い式がただ羅列しているので、時間に余裕がない私は
例題を解いて問題になれようと考えました。しかしinfo22様がおっしゃる通りネットでも
なかなか巡回符号の例題とその解答が見つかりませんでした。
ハミング距離や巡回符号の定義等を細かく自分で証明していき、
基本的な事項を理解すれば例題がなくても問題が解けるのでしょうが。

amazon等で何冊か符号の専門書を購入しましたが、やはり例題数が少なく私が最も知りたい「実際にどうやって検査するのか」等の具体例が省かれていることが多かったです。

例題まで作成して頂き、本当にありがとうございます。
専門書を何冊も読むよりはるかにinfo22様の解説の方が分かり易く、
実際に使えそうな知識として習得することができました。

お忙しい中、時間を割いていただきありがとうございました。

お礼日時:2007/08/14 10:32

#1です。


A#1の補足質問について
>問題2について
>最後の3列が単位行列ならば、そのほかの列はシャッフルしても
>可能、という事でしょうか。
4ビットの情報ビット列全ての組合せ(16通り)について生成多項式g(x)に対して、R(x)を求めて巡回符号を作って、最後の3ビットが単位行列が単位行列になるものをピックアップしてパリティ検査行列Hを作ります。

>H~ は H の転置行列という意味でしょうか?
転置行列の意味で使っています。本来はHの肩に小さなTを書く代わりに簡便に書きました。

>>誤りベクトル=Y・H~=[1 0 0]
この通りです。
>転置行列として計算した場合、
>Y・H~=[1 1 1]
こうなりません。
計算過程が書いてありませんので計算の間違いの理由が分かりません。
計算は(行)・(列)の計算は要素のAND計算(積でも同じ)した後、それらを排他的論理和で計算します。つまり1の数が偶数であれば0,1の数が奇数であれば1になります。
そうすれば正しい誤りベクトル[1 0 0]が計算できるはずです。
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この回答へのお礼

度重なる質問に迅速にお答えいただき、ありがとうございます。

>4ビットの情報ビット列全ての組合せ(16通り)について生成多項式g(x)に対して、R(x)を求めて巡回符号を作って、最後の3ビットが単位行列が単位行列になるものをピックアップしてパリティ検査行列Hを作ります。

なるほど、このような検査行列の求め方があったのですね。
私は生成多項式 g(x) の関係から  a を代入し

a^3 + a +1 =0

から

1 = 1
a = a
a^2 = a^2
a^3 = a +1
a^4 = a^2 +a
a^5 = a^2 +a +1
a^6 = a^2+1

0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
1 0 1

と係数よりパリティ検査行列を求める方法しか知りませんでした。
info22様の方法の方がスマートに計算できますね。
問題集などでは1つの答えしか掲載されていない事が多く、これであっているのかと不安でした。詳細にお答えいただきありがとうございます。


> >Y・H~=[1 1 1]
> こうなりません。
> 計算過程が書いてありませんので計算の間違いの理由が分かりません。

大変失礼いたしました。
計算し直した結果、info22様のおっしゃる通り
Y・H~=[1 0 0] となりました。
どうやら、行列の積と排他的論理和の計算の際に計算の手順を
間違えていたようです。


とある試験でこの分野から問題が出題されるのですが私にとって全くunfamiliarな分野で、かつ試験が迫っていますのでinfo22様からの解説はとても有難く、参考になりました。

お忙しいところ、ありがとうございました。

お礼日時:2007/08/13 18:32

問題1


>符号長7の二元巡回(7,4)
符号長n=7,情報ビット数m=4,n-m=3
>g(x) = x^3 + x + 1
>x^2 + x +1 =P(x)
P(x)x^3=x^6+x^5+x^4=g(x)Q(x)+R(x)
=(x^3+x+1)(x^3+x^2)+x^2
Q(x)=x^3+x^2, R(x)=x^2
巡回符号の符号多項式
F(x)=P(x)x^3+R(x)=x^6+x^5+x^4+x^2

問題2
パリティ検査行列Hは3行7列の行列で
全ての列が異なり、列の全ての要素がゼロでないこと。最後の3列は単位行列であること。これらの条件を満たす検査行列Hは次の通り。
H=
[1 0 1 1 1 0 0]
[1 1 0 1 0 1 0]
[0 1 1 1 0 0 1]

問題3
>受信多項式 y(x) が x^5 + x^4 + x^3 + x^2 +1
受信データY=[0111101]
誤りベクトル=Y・H~=[1 0 0]
これがH行列の前から5列目と一致する。
したがって受信データYの前から5ビット目がエラー。
5ビット目を反転させて誤り訂正する。
訂正後のY=[0111001]
正しい受信多項式はx^2の係数を反転させて
y(x)=x^5 + x^4 +x^3 + 1
となる。
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この回答へのお礼

詳細な解説ありがとうございます!!

問題1については、実際に計算して確認できました。
ご丁寧に途中の計算式まで書いて頂き、ありがとうございます。

問題2について
最後の3列が単位行列ならば、そのほかの列はシャッフルしても
可能、という事でしょうか。


問題3について
私の理解力が足りなく、まだわからない状態です。

>誤りベクトル=Y・H~=[1 0 0]

の  H~ は H の転置行列という意味でしょうか?
転置行列として計算した場合、
Y・H~=[1 1 1]

と、なってしまいます。

お礼日時:2007/08/13 15:11

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min X とは、集合Xの要素のうちで最小のもの、を表す記号です。たとえば、
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 で、minを使って、ご質問にある命題をきちんと表記すると、
「最小ハミング距離は
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である。」
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 なお、U≠Vの条件が出てくるのは、この制限を付けないと
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 さて、
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と書くのはちっともおかしくない。また、{}の中にある論理式の∃記号を省略するのもよくやることなんで、
min{d_H(U,V))|U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V}
またU∈C ∧ V∈Cを略してU,V∈Cとも書きますね。
min{d_H(U,V))|U,V∈C,U≠V}
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と書いたら
min{x|∃U∃V(U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V ∧ x=d_H(U,V))}
という意味だぐらい分かってよ、って事になるわけです。

 つーことで、これは符号理論とも最小ハミング距離ともほとんど関係がないご質問ですね。なおstomachmanはむやみな略記は嫌いです。略記のせいで間違えるってことが、本当に多いもんですから。

min X とは、集合Xの要素のうちで最小のもの、を表す記号です。たとえば、
min{4,5,6} = 4

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Q文脈自由文法をチョムスキー標準形に変換

大学の数学で分からない問題があります。
どなたか教えていただけないでしょうか?

1.次の規則を持つ文脈自由文法をチョムスキー標準形に変換せよ。
(1) G=({S,A},{ab},P,S)
P={S→Ab,A→aAb,A→ab}
(2) G=({S,A,B},{ab},P,S)
P={S→aB,S→bA,A→a,A→aS,A→bAA,B→b,B→bS,B→aBB}
(3) G=({S},{a,b},P,S)
P={S→aS,S→aSbS,S→ε}

2.次の書き換え規則で定義される文法が生成する言語を示せ。
  但し、「={S,A,B},Σ={0,1,2},開始記号はSとする。
(1) S→0AB,A→0AB|0B,B→1
(2) S→S0|AB,A→1A|1,B→2
(3) S→A,A→0A|0,B→B1|1
(4) S→AB.A→0A1|01,B→B2|2

問題は以上です。長くなってしまい申し訳ありません。
また、学校で何やっていたんだとお怒りの方もいらっしゃるかと思いますが、何卒よろしくお願いします。

大学の数学で分からない問題があります。
どなたか教えていただけないでしょうか?

1.次の規則を持つ文脈自由文法をチョムスキー標準形に変換せよ。
(1) G=({S,A},{ab},P,S)
P={S→Ab,A→aAb,A→ab}
(2) G=({S,A,B},{ab},P,S)
P={S→aB,S→bA,A→a,A→aS,A→bAA,B→b,B→bS,B→aBB}
(3) G=({S},{a,b},P,S)
P={S→aS,S→aSbS,S→ε}

2.次の書き換え規則で定義される文法が生成する言語を示せ。
  但し、「={S,A,B},Σ={0,1,2},開始記号はSとする。
(1) S→0AB,A→0AB|0B,B→1
(2) S→S0|AB,A→1A|1,B→...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。

解き方のヒントは、次の資料を参考になさるとよいでしょう。
http://www.trs.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~sakai/lecture/automata/slide14-handout.pdf

ただし、上の資料では何のことやら・・ということであれば、次の資料にあるように、一般記号を簡便にして、解いてみればよいかと思います。
http://www.jaist.ac.jp/~kshirai/lec/i223/03.pdf

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>静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
>導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
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磁場や電場による力についても色々式をいじくっていくとマックスウェルの応力と呼ばれる空間(場)に力が働くという表示も得られたりします。

結局何が言いたいのかというと、電磁気学というのは場という考え方に基づいて話を展開することができ、その立場の元では静電エネルギーというのは場そのものがエネルギーを蓄えていると考えられると言うことです。

>静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
>導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1/2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。(導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分)
この物理的意味...続きを読む

Q2元多項式g(x)により生成される巡回符号について

2元多項式g(x)により生成される巡回符号について
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お願いします。

Aベストアンサー

GF(2)={0,1},0+0=0,0+1=1=1+0,1+1=0,1=-1,0*0=1*0=0*1,1*1=1
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GF(2)上の多項式を考える
g(x)=x^3+x+1
x^7-1=(x-1)(x^3+x^2+1)(x^3+x+1)
だから
巡回符号は
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C1(x)=1*g(x)=x^3+x+1→(0,0,0,1,0,1,1)
C2(x)=(x+1)g(x)=x^4+x^3+x^2+1→(0,0,1,1,1,0,1)
C3(x)=(x^3+x^2+1)g(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1→(1,1,1,1,1,1,1)
C11(x)=x*g(x)=x^4+x^2+x→(0,0,1,0,1,1,0)
C12(x)=x^2*g(x)=x^5+x^3+x^2→(0,1,0,1,1,0,0)
C13(x)=x^3*g(x)=x^6+x^4+x^3→(1,0,1,1,0,0,0)
C14(x)=(x^2+x+1)g(x)=x^5+x^4+1→(0,1,1,0,0,0,1)
C15(x)=(x^3+x^2+x)g(x)=x^6+x^5+x→(1,1,0,0,0,1,0)
C16(x)=g(x)^2=x^6+x^2+1→(1,0,0,0,1,0,1)
C21(x)=(x^2+x)g(x)=x^5+x^4+x^3+x→(0,1,1,1,0,1,0)
C22(x)=(x^3+x^2)g(x)=x^6+x^5+x^4+x^2→(1,1,1,0,1,0,0)
C23(x)=(x^3+x^2+x+1)g(x)=x^6+x^5+x^3+1→(1,1,0,1,0,0,1)
C24(x)=(x^3+1)g(x)=x^6+x^4+x+1→(1,0,1,0,0,1,1)
C25(x)=(x^2+1)g(x)=x^5+x^2+x+1→(0,1,0,0,1,1,1)
C26(x)=(x^3+x)g(x)=x^6+x^3+x^2+x→(1,0,0,1,1,1,0)

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C13(x)=x^3*g(x)=x^6+x^4+x^3→(1,0,1,1,0,0,0)
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本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?
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Aベストアンサー

教科書の定義が正しいです。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、ループ全体一周する伝達関数で、ループの安定性(位相余裕など)なんかを調べるときに使います。

開ループ伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、入力と出力の比です。

つまり、ループを切り開いて考えるのは同じですが、一巡伝達関数がループを一周(フィードバックの要素も考える)のに対して、開ループ伝達関数は入力と出力の比です(したがってフィードバックの要素は考えない)。

フィードバックの要素がない場合には、2つは同じになります。

Qブロック線図の簡略化について。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 写真の

ブロック線図の簡略化について。

伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。
写真の問題で答えは下に書いてありますが、どのようにして導けるのか分かりません。

基本的な縦続や並列、フィードバックや加え合わせ点の移動などは理解しています。

ご教授お願いします。

Aベストアンサー

簡略化の過程を添付図で説明します。

 まず(a)から(b)へ
G2の入力信号G2_inはG1の出力とG3の出力が加算されてますのでこれをyとxを使った式で表しますと、

   G2_in=xG3+(x-yH)G1   (1)

この式を書き直し変形して

   G2_in=x(G1+G3)-yG1H   (2)

と表されます。
 この式(2)をもとにブロック図(a)を書き直すと(b)のように書き直せます。
 それを(c)のように書き直せます。(c)から先は簡単なので省略します。


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