標準偏差の補正について

標準偏差の補正方法がわからず困っています。

測定値Ａの標準偏差をａ
測定値Ｂの標準偏差をｂとします。

ＡをＢで割った値Ａ／Ｂを求め、Ａ／Ｂの標準偏差の値を求めたいのですが、どのようにすればいいのかわかりません。

どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/17 00:43

こんにちは。

実験データの解析をしようとしているのですね。
数学の問題としてではなくて、実用上の観点からお答えしますね。

Ａ、Ｂは異なる物理量で、Ａ／Ｂという物理量について考える。
そして、Ａ／Ｂの標準偏差を知りたいのは、その測定誤差を知るため。

ということでよいでしょうか。
そうだと仮定してお答えします。

> 測定値Ａは以下3つの値の平均値0.176であり、ＳＤは0.006
> 測定値Ｂは以下3つの値の平均値1.478であり、ＳＤは0.106
> データの性質上、3つずつの値がそれぞれに対応しているわけではない

Ａ／Ｂを直接測定したわけではないので、その分布を出して標準偏差を計算することはできないです。
仮想的にやっても良いですが、あまり裏づけがあるともいえなさそう。

実験データからわかることは、およそ
A = 0.176 ± 0.006
B = 1.478 ± 0.106
ということ。

標準偏差を測定精度とみなすのは、どのみち「およそ」の話です。
正準分布しているわけでもないし、そもそも三つぐらいの測定データですし。

上の式は、およその話として、A, B の真の値が、

0.176 - 0.006 < A < 0.176 + 0.006
1.478 - 0.106 < B < 1.478 + 0.106

の範囲にあることは、ある程度の確かさで信じても良さそうということを意味しています。

従って、そのぐらいの確かさで、

(0.176 - 0.006)/(1.478 + 0.106) < A/B < (0.176 + 0.006)/(1.478 - 0.106)

つまり、

0.1073… < A/B < 0.1326…

の範囲に、A/B の真の値があることがいえます。
その幅は、およそ 0.025 ≒ 2×0.013

結論として、物理量A/B の実験値としては、0.176/1.478≒0.119より、

A/B = 0.119 ± 0.013

としてはどうでしょうか。実用的にはこれで十分だと思います。

ANo.3さんのご回答のように誤差の伝播の式を使うのもありますが、実質的には似たようなものになります。
値も似たようなものになるはずです。

誤差の評価は、もともとそのぐらい大雑把な話で、難しい数学を使っても、それだけ誤差の評価が正確になるというわけでもないんですよね。

この回答へのお礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます。
この求め方で大丈夫そうです。

ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/18 14:53

No.3 回答者： goma_2000 回答日時： 2007/08/16 15:29

１）数値的に求めるなら

対応関係がわからないとのことでしたが、それなら組み合わせに対して計算する。それぞれ3つあるので9通りの比が計算できるのでそれを用いて平均、標準偏差を計算する。(Bootstrap的なイメージです)

２）解析的に計算する

zの平均値はx,yの平均値の比から計算し、
標準偏差を誤差と捉え計算する。つまり、

　z=x/yとして
　Δz=sqrt{(∂z/∂x)^2 Δx^2 + (∂z/∂y)^2 Δy^2}
　ここでΔx,Δyはそれぞれの標準偏差、Δzが求めたい比の標準偏差

で比の標準偏差を計算する。

要は分布の合成を一般的に行なうということです。それぞれの変数に相関がないことを仮定しています。xとyに相関がある場合にはこれにΔx,Δyの積の項が追加されますが、今の場合にはデータの対応関係がわからないとのことなので相関は計算できないので考慮しても仕方ないということで省いてあります。

というのはどうでしょうか。

この回答へのお礼

１）のやり方はわかりやすくていいですね。
この方法で計算してみます。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/18 14:45

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/08/16 00:56

＃１さんがおっしゃるように、測定値Ａの平均値、標準偏差と測定値Ｂの平均値、標準偏差とから、Ａ／Ｂの標準偏差などを推定することは難しいっていうか、この条件だけでは推定できません。

質問されているのは、実用上の、つまりお仕事か何かで具体的に求められたいということですか？
それならば、測定値Ａ、測定値Ｂについて具体的な測定値を持っていらっしゃるのでしょうから、それら測定値Ａ，ＢからＡ／Ｂを計算して、その計算値から標準偏差を計算すればいいわけだし・・・。
どうもご質問のシチュエーションが分かりませんね。

この回答への補足

わかりずらくて申し訳ありません。

実験データなのですが、
測定値Ａは以下3つの値の平均値0.176であり、ＳＤは0.006
0.18
0.1687
0.1798
測定値Ｂは以下3つの値の平均値1.478であり、ＳＤは0.106
1.369
1.58
1.484
というデータです。

＞それならば、測定値Ａ、測定値Ｂについて具体的な測定値を持っていらっしゃるのでしょうから、それら測定値Ａ，ＢからＡ／Ｂを計算して、その計算値から標準偏差を計算すればいいわけだし・・・。

kumipapaさんのおっしゃっているのは、0.18/1.369のように個々にＡ／Ｂを計算してからＳＤを求めるということですよね。
データの性質上、3つずつの値がそれぞれに対応しているわけではないので、そのような計算ができないのです。

やはりこのデータから標準偏差を求めるのは難しいのでしょうか？
お手数おかけして申し訳ありません。

補足日時：2007/08/16 09:55

この回答へのお礼

解決しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/18 14:42

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/08/16 00:18

その条件では求められません。

比の分布はけっこう厄介なんです。
http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

ちなみに、ＡとＢがともに正規分布のとき、Ａ／Ｂの分布をコーシー分布といいます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC% …
コーシー分布は平均が存在しない（分散も存在しない）、原点中心の２次モーメント無限大と、とても変な分布です。

この回答への補足

説明不足でご迷惑をおかけしました。
＃２さんのところで補足をしましたが、やはり難しそうですね。

補足日時：2007/08/16 10:12

この回答へのお礼

ありがとうございました。
解決しました。

お礼日時：2007/08/18 14:38