分配法則の証明って？

分配法則を証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか？

自然数に関する分配法則
a×(b＋c)=a×b＋a×c
(b＋c)×a=b×a＋c×a

集合に関する分配法則
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/09/04 14:16

集合の方は他の人にまかせるとして自然数の方だけ:

どこから話を始めるかにもよりそうなんだけど, 「× と + を帰納的に, 適切に定義してある」という前提から帰納法で証明することは可能だと思います. ちょっと考えてみましたが, 努力と根性だけでいけるはず.

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/09/04 19:52

自然数の掛け算が、

a×b＝b+…+b（bのa個の和）
または、
a×b＝a+…+a（aのb個の和）
のような定義だとすると、
a×(b+c)=(b+c)+…+(b+c)（b+cのa個の和）
=(b+…+b)+(c+…+c)
=a×b+a×c
（縦にa個、横にb+c個タイルを並べて長方形を作って、タイルの個数を
勘定する感じですかね。証明というからには、自然数の掛け算とは何
かという定義をちゃんとすることですね。自然数とは何かということま
でさかのぼるとペアノの公理などが出てきて難しくなる。）

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
は、
「Aかつ（BまたはC)」＝「(AかつB)または(AかつC)」
のように論理で考えれば良いと思います。

あまりさかのぼると数学基礎論の本格的なところに行くので、このくら
いで良いかなと思います。