No.5ベストアンサー
- 回答日時:
詳しい目の教科書には、2通りの説明があるのですが、
任意のε>0について、のεにこだわると♯2のような解答になって、
いちいちこだわらないなら、
{Xi},{Yi}がコーシー列だから、
任意のε1,ε2>0に対し、あるNがあって、i,j>Nについて、
|Xi-Xj|<ε1
|Yi-Yj|<ε2
任意のε>0にたいし、
i,j>Nについて、M=max{|Xi|,|Yi|}があって(コーシー列は収束列)
|XiYi-XjYj|≦|Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|<M(ε1+ε2)<ε
が成立するように、Nを選ぶことができる。
(εがどんな値でも、Nを大きくとると、ε1、ε2をいくらでも小さく
とれるので、M(ε1+ε2)<εとできるから)
#2では、M(ε1+ε2)=εになるように、細工をしているだけで、
本質的ではないということです(図書館等やサイトで探せば、
そういう記述は出てくると思います。)
コーシー列⇔収束列 は条件によるので、
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2915068.html
を参考に
No.3
- 回答日時:
>すいませんが、|Xi-Xj|<ε/(2(max|Yn|))<ε/(2|Yj|)
>|Yi-Yj|<ε/(2(max|Xn|))<ε/(2|Xi|)
>
>の部分が良く理解出来ないので、補足していただけると嬉しいです。
特に意味のない式変形です。
有界だとわかったんだから |X_i| < M , |Y_i| < M なる十分大きな M がインデックスに関係なく取れますね。M の具体的な形など気にする必要はありません。
さすれば |X_i * Y_i - X_j * Y_j| < M * (|X_i - X_j| + |Y_i - Y_j|)
M はインデックス i, j に関係のない正数だから、コーシー列の定義から右辺は十分大きな i, j に対して小さくできるということ。
最後を |X_i * Y_i - X_j * Y_j| < ε にまとめたい、などと考える必要もありません。見辛くなるだけです。
この回答への補足
>コーシー列の定義から右辺は十分大きな i, j に対して小さくできるということ。
この文の意味が分かりません。それと、|X_i * Y_i - X_j * Y_j| < M * (|X_i - X_j| + |Y_i - Y_j|)がどういう風に|XiYi-XjYj|≦|Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|<ε/2+ε/2=εと結びつくのでしょうか?宜しくお願いします。
No.2
- 回答日時:
こんにちわ、はじめまして。
{Xi},{Yi}がコーシー列だから、
任意のε1,ε2>0に対し、あるNがあって、i,j>Nについて、
|Xi-Xj|<ε1
|Yi-Yj|<ε2
とできる。
とすると、任意のε>0に対し、N0を,i,j,n>N0について、
|Xi-Xj|<ε/(2(max|Yn|))<ε/(2|Yj|)
|Yi-Yj|<ε/(2(max|Xn|))<ε/(2|Xi|)
をみたすようにとることができる({Xi},{Yi}が収束列だから、
あるNより大きいnにつきXn,Ynのmaxは存在する)。
結局、任意のε>0に対し、あるN0を上のようにとると、
i,j>N0のi,jについて
|XiYi-XjYj|≦|Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|<ε/2+ε/2=ε
とできる。
もしくは、コーシー列は収束列。収束列の積も収束列(証明は
教科書等で)、収束列はコーシー列だから、コーシー列の積も
コーシー列とするか
この回答への補足
こんにちは。丁寧な回答どうもありがとうございます。すいませんが、|Xi-Xj|<ε/(2(max|Yn|))<ε/(2|Yj|)
|Yi-Yj|<ε/(2(max|Xn|))<ε/(2|Xi|)
の部分が良く理解出来ないので、補足していただけると嬉しいです。宜しくお願いします。
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