痔になりやすい生活習慣とは?

同値関係というのはなんとか分るのですが、同値類、直和分解というのがなかなか理解できません。
それぞれどういったつながりがあるのですしょうか?
ある同値関係を自分でつくり、それが直和分解になっていることを示しなさいという問題に行き詰っています。
回答よろしくお願いします<m(__)m>

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A 回答 (3件)

>「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね?



あってるというか・・・
やっぱり「関係」という考え方が理解できてない感じですよ.
「a-bは偶数」という同値関係
(同値関係であることを証明できますか?)で
「関係がある」(同値である)ものを一個にまとめるんです.
それが「同値類」です.
#同値の三つの条件がないと,このようにうまくは分解できません.

今の例では,「自然数だけ」を相手にしてるとして
何かの数 a と「関係がある」(同値である)ものは
aが偶数のときは,「偶数」
aが奇数のときは,「奇数」です.
すなわち,例えば
1と同値なものの集合は{1,3,5,7,9,...},奇数全体の集合
2と同値なものの集合は{2,4,6,8,10,...},偶数全体の集合
これらが,「a-bは偶数」という同値関係での「同値類」であり,
これによって自然数の集合の直和分解
{1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}
が構築されます.

「同値関係」というもので「関係がある」ものに全部ひもをつけて
ひもでつながっているものを「一個」のものとみなす
というイメージで,そのそれぞれの「一個のもの」が「同値類」,
その同値類を全部集めたものが数学用語では「類別」、
類別されたものを合併させたのが「直和分解」かな
「a-bは偶数」の例では
{1,3,5,7,9,...},{2,4,6,8,10,...}:それぞれ同値類
{ {1,3,5,7,9,...},{2,4,6,8,10,...}}:類別
{1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}:直和分解
です.

逆に直和分解が与えられれば
二つものa,bが関係があるということを
a,bが同じ「分解の各要素」にあると定義することで
同値関係が定義できます.
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この回答へのお礼

ようやく理解できました、おそらく(笑)
何度も質問に回答していただき、ありがとうございました<m(__)m>

お礼日時:2007/10/10 21:16

んーー・・本当に「関係」とかわかってるのかな


前の質問と同じく情報代数の話でしょ?
そーいう前提条件を外すと意味が不明になるんだけどなぁ・・

>同値関係というのはなんとか分るのですが、同値類、直和分解というのがなかなか理解できません。

多分,分かってないと思うな.
まず「直和分解」ってのは文脈に応じて
定義が違うものなんだ.
だから「前提」がはっきりしていないとよくわからん
ここで「集合Aの直和分解」ってのは
A=A1∪A2∪・・・UAn∪・・・, Ai∩Aj=φ(i≠j)
という形にわけることでしょう?
#たとえば線形代数のベクトル空間の直和分解は
#(本質的にはほとんど同じだけども)こういう定義ではない.

それから「関係」のうち,
推移・反射・対称が成立するものが「同値関係」
同値関係が定めれば「同値類」が定義でき,
同値類が定義できれば「直和分解」が定義できる.
逆に「直和分解」が定義できれば「同値関係」が定義できる
(もちろん,同値類も定義できる).
このことがきちんと証明できますか?
極めて簡単かつ基本です.
#しかし議論に癖があるので習熟は必要.

同値関係っての「等しい」の一般化だから
自明な例は「等しい」ということ
例えば,
自然数a,bに対して,同値関係~を
a~b は a=b であることと定めれば
N={1}∪{2}∪・・・U{n}∪・・・
が直和分解だし,{1}などが「同値類」
もういっこ例を,ヒントだけ.
自然数a,bに対して,関係~を
a~b は 「a-bは偶数」であると定めるとどうなりますか?

このあたりの話題は,数学科でやるような数学のうち,
一番,初心者がはまる「集合論」そのものだから
分からなかったら,きちんと先生に聞きましょう.
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この回答へのお礼

自分で色々調べたんですけど、いまいちピンとこないんですよね…
「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね?
先生に今度聞いてしっかりと理解しようと思います。ただ宿題提出があるのでここで色々質問してしまいました。
再度回答していただいきありがとうございました<m(__)m>

お礼日時:2007/10/07 23:16

つながり自体はその問題そのものなんだけど....


厳密には「任意の同値関係に対し, それによる同値類にわけると直和分解になる」という問題かな.
もっというと「同値関係が与えられれば同値類による直和分解が決まるし, 直和分解が与えられればそれにより同値関係が定まる」という意味で, 同値関係と直和分解は同じものなんだけど.
同値類とか直和分解は調べること.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
色々調べてみます

お礼日時:2007/10/07 23:17

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Q証明問題

下記の証明問題(レポートなどではなく、ただ単に趣味で解いている程度のものですから問題ないと思われます)を解いていたのですが、いくら考えてもわからないので、どなたか解いてみていただけないでしょうか?


Vを計量線形空間、Wをその部分空間とする。Wの直交補空間をW⊥とするとき、VはWとW⊥の直和であることを証明しなさい。


以上です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

dimW=rとして、W正規直交基底{e1,e2,・・・er}をとる。
Vの任意の元vに対し、
v1=Σ(vi,ei)ei、v2=v-v1 [Σ i=1,r]
とおく。
v1∈Wであり、ej(1≦j≦r)に対して、
(v2,ej)=(v-v1,ej)
    =(v,ej)-(Σ(v,ei)ei,ej) [Σ i=1、r]
    =(v,ej)-(v,ej)
    =0
v2は、Wの任意の元と直交する。
故に v2∈W⊥
よって、VはWとW⊥の和となる。
V=W+W⊥

W∩W⊥の元vをとれば、(v,v)=0であるから、v=0 となる。
よって、
W∩W⊥={0}
故に
V=W(+)W⊥    (+)・・・直和

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q全射の総数

|X|=4、|Y|=3であるとき、写像f:X→Yで全射になる写像の総数はいくらか

この回答は36なのですが、考え方が良くわかりません、誰か教えてください、お願いします

Aベストアンサー

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で12ですが、これは順列でないので、2で割ると6が出てきます。
 
  Xの四個の要素のなかで、二つを選ぶと、残りの二個は自動的に決まります。つまり、6通りに分けて、それぞれ要素が違う三つの要素があると考えてよいのです。こう言っても分かりにくいかも知れませんから、具体的に、その6通りを以下に書いてみます。X={a,b,c,d}とします。
 
  ケース1){(a,b),c,d}
  ケース2){(a,c),b,d}
  ケース3){(a,d),b,c}
  ケース4){(b,c),a,d}
  ケース5){(b,d),a,c}
  ケース6){(c,d),a,b}
 
  これら6個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Yの三つの要素の位置に、これら6ケースごとで、三つの要素を入れて行く(対応させて行く)ことを考えると、これが、X→Yの全射になります。6個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、6個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
 
  従って、Yの三つの位置に対する順列を取ると、3・2・1=6で、これと、ケースの数6をかけると、6・6=36になり、これが、答えです。
 
  注記)六個のケースの三つの要素(二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意)の順列をどう入れ替えても、6個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
 

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で1...続きを読む

Q直和の意味?

 線形代数を一通り講義で学習したのですが,自分で勉強し直そうとしている学生です。線形部分空間の定理が自分で納得できずにつまずいてしまいました。
 線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積というという定義は何となくイメージできます(共通集合を持たないベクトル同士の和ということですかね?ベクトル空間同士の積と言うのもなんかイメージがつきませんが…)。

 しかし,Eの2つの線形部分空間F1,F2につきF1+F2が直和になるための必要十分条件はF1+F2がどんな元 →xをとっても,→x=→a+→b ,a∈F1,b∈F2と表す方法が唯一通りとなることである(→xはベクトルxの意味です)。といわれると???となってしまうのです。それに唯1通りと言われても,じゃあベクトル空間同士の積が空でない場合は2通りの表現方法があるのかと考えてみましたが自分でうまく立証できません。

 まずベクトル空間の理解が全然足りてないのはわかりますが,直和というのは一体どのような概念を表しているのか?どんな風に使っていくことができるのか,詳しい方は教えてください。よろしくお願いします。

 線形代数を一通り講義で学習したのですが,自分で勉強し直そうとしている学生です。線形部分空間の定理が自分で納得できずにつまずいてしまいました。
 線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積というという定義は何となくイメージできます(共通集合を持たないベクトル同士の和ということですかね?ベクトル空間同士の積と言うのもなんかイメージがつきませんが…)。

 しかし,Eの2つの線形部分空間F1,F2につきF1+F2が直和になるための必要十分条件はF1+F2がどんな元 →x...続きを読む

Aベストアンサー

>線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積という

「直和」ですね.
線形代数ではまりそうになったら単純な例,
ほとんどは R^n で具体例を考えればよいのです.

例えば,R^3の中で,
{y=z=0}(これはx軸),{x=z=0}(これはy軸)
の直和をとると,これはR^2={(x,y,0)}になります.
そして,R^2の要素はかならずx軸,y軸の成分で「一意に」表せます.
もちろん,x軸とy軸そのものはR^3の部分空間で
共通部分は{0}だけです.
他の例としては,R^3の部分空間として
{(x,y,0)}(xy平面)と{x=y=0}(z軸)なんてのもできますし,
自分で「成り立つ例」を納得するまで構築してみましょう.

逆に「直和ではない」例を構築するのもよいでしょう.
例えば,R^3の中で
{y=x,z=0}(xy平面上の45度の直線)
{z=0}(xy平面)
これらの和集合を考えても,直和にはなりません.
この直線はxy平面に含まれる
(共通部分が0ではない)ので直和ではなく,
また,和集合の任意の要素は一意ではなく表現できます
例えば,
(1,1,0) = 1 (1,1,0) + (0,0,0)
(1,1,0) = 2 (2,2,0) + 3 (-1,-1,0)のようにいくらでも.
#この例は一方が他方に含まれているので面白くないですが
#面白いのはこの形式の掲示板では記述がつらすぎます.
#R^4くらいで,2次元部分空間同士で,
#共通部分が一次元部分空間になるようなもの
#を計算するとよいでしょう.

イメージとしては,
原点だけを共有する「軸」を組み合わせることによって
空間を広げて,なおかつ,広がった空間の任意の要素が
もともとの軸の要素の組合せで一意に表現できる
ということで。。。まさに「座標そのもの」の構築の一般化です.
ここで「一般化」にといってるのは
「軸」が一次元である必要はなく,
部分空間でありさえすればいいということです.

勉強を進めていくと逆のケースが現われます.
つまり
・わけがわからない空間がある
・とりあえずベクトル空間だとわかった
・性質がわかっているベクトル空間の直和になった
・それぞれのパーツの空間を調べよう
・もともとの空間の要素はパーツの空間の要素の和だから
 もともとの空間がわかったことになった
#もっともこういう議論をするときは
#無限次元の線型空間だったりしますが

>線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積という

「直和」ですね.
線形代数ではまりそうになったら単純な例,
ほとんどは R^n で具体例を考えればよいのです.

例えば,R^3の中で,
{y=z=0}(これはx軸),{x=z=0}(これはy軸)
の直和をとると,これはR^2={(x,y,0)}になります.
そして,R^2の要素はかならずx軸,y軸の成分で「一意に」表せます.
もちろん,x軸とy軸そのものはR^3の部分空間で
共通部分は{0}だけです.
他の例としては,R^3の部分空間として
...続きを読む

Q上界と上限と最大値の違い

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
明確な定義などはあるのでしょうか

Aベストアンサー

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x かつ、 xはAに含まれる(xはAの元である)
 つまり、Aの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、A={x;xは実数 かつ x<1} なんてとき、Aに最大値はありませんね。
 自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・xがAの上限 ⇔ xはAの上界の最小値
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、A={x;xは有理数 かつ x^2<2} なんてとき、Aに上限はありません。
 実数の世界では上界があるなら上限があります。

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x ...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは.Esnaです.

C1級は,1回微分可能な関数のことです.
Cn級や,C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです.

Q同値関係とは

同値関係について
教科書などを見ると
反射律、対象律、推移律の3つを満たすときに同値関係になるとかいてあるのですが、その意味がよくわかりません。

説明できる方がいらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

関係~について,

 反射律とは a~a を満たすこと
 対称律とは a~b ⇒ b~a を満たすこと
 推移律とは a~b,b~c ⇒ a~c を満たすこと

です。この3つをすべて満たすことを同値関係といい,
高校までに習った「同値」という概念の本質を端的に
言い表しています。

定義なのだから,そのまま認めればいいだけのことですが,
実感がつかみにくいなら,中学・高校で習った具体例を
あげるとよいでしょう。
例えば,線分の長さについて考えると
  AB=AB,
  AB=CD ⇒ CD=AB,
  AB=CD,CD=EF ⇒ AB=EF
が成り立ちますから,「線分の長さが等しい」という関係は
同値関係ですね。

大学の数学って,今まであいまいにしてきたことを,
スッキリさせてくれますよね。

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。


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