1,2,3,…,nからk個とったものの積を考え、それらの全部の和

1,2,3,…,nからk個とったものの積を考え、それらの全部の和を求めたいのです。
たとえば、1,2,3から2個とったものの積は、
1・2、1・3、2・3
ですが、それらの全部の和は11になります。

1,2,3,…,nから1個とったものの積を考え、それらの全部の和は、
n(n+1)/2
です。

1,2,3,…,nから2個とったものの積を考え、それらの全部の和は、腕力で計算して、
(n-1)n(n+1)(3n+2)/24
となりました。

1,2,3,…,nからn-1個とったものの積を考え、それらの全部の和は、
n!(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)
と、階乗数と調和数列の積になることは分かると思います。

1,2,3,…,nからn個とったものの積を考え、それらの全部の和は、
n!
です。

一般に、1,2,3,…,nからk個とったものの積を考え、それらの全部の和を求める方法はあるのでしょうか？

(1+x)(1+2x)…(1+nx)の展開式におけるx^kの係数を求めると考えてもいいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/12/02 06:30

意外と簡単かと思いきや、結構難しい。

ちょっと調べてみたら、(1+x)(1+2x)…(1+nx)はPochhammer-Wilkinson
Polynomial（ポッホハンマー・ウィルキンソン多項式）というようで、
その係数に第１種スターリング数がでてきます。
第１種スターリング数s(n,k)というのは、n文字の置換のうち、k個の
巡回置換の積で表せるもの全体の個数で、漸化式、
s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)
を満たします。（二項係数の場合と似ている。後ろにn-1がかかっている。）
s(n,k)を使えば、最初の方のような表現になりますが、s(n,k)を一般的
にn,kの式で表わせるのかどうかわかりません。
また、この多項式の形から、ガンマ関数の性質
Γ(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)…(x+1)xΓ(x)
より、ガンマ関数とも関連があるようです。
完全解決にはなっていないかと思いますが、調べるきっかけになればと
思います・・・