問題「m,nは整数とする。積mnが偶数ならば、m,nのうち少なくとも一つは偶数であることを対偶を利用

問題「m,nは整数とする。積mnが偶数ならば、m,nのうち少なくとも一つは偶数であることを対偶を利用して証明せよ。」


の模範解答を教えてください。

高一の数学です。

No.2 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/06/18 19:19

m, n がともに奇数のとき m=2p-1, n=2q-1 (p,q は整数) のとおくと

mn=(2p-1)(2q-1)
=4pq-2p-2q+1
=2(2pq-p-q)+1
となり奇数である。
従って、mn が偶数ならば m, n の少なくとも一つは偶数でなければならないことになる。

No.4 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2018/06/19 08:40

「積mnが偶数ならば、m,nのうち少なくとも一つは偶数である」の対偶は

「m,nのうち一つも偶数ではないならば、積mnは偶数ではない」です。
もちろん、m,nのうち一つも偶数ではない」ということは「共に奇数」ですし、
「積mnは偶数ではない」ということは「積mnは奇数」ということです。

あとは、奇数同士の積が奇数になることを示せばいいことです。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/06/18 19:21

整数において「偶数」の否定は「奇数」ですよね。

「積mnが偶数」→「m,nのうち少なくとも一つは偶数」の対偶って何？
「m,nの双方が奇数」→「積mnが奇数」此れで 分るでしょ。
a,b を整数とすると、m=2a+1, n=2b+1 とする事が出来ますね。
(2a+1)(2b+1) は偶数ですか、奇数ですか。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/06/18 19:16

m,nが共に奇数とすると、m=2a+1,n=2b+1と書ける(a,bは整数）

m,nの積は(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1=2(2ab+a+b)+1

ここで2ab+a+bは整数だから、積=2×整数+1ｎ形よなり奇数を示す。

m,nが共に奇数ならば ⇒ m,nの積は奇数。

この対偶をとると
m,nの積が偶数ならば⇒ m,nは共に奇数では無い(少なくとも片方は偶数)


ってな具合