仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

(1)△ABCの外心をOとする。

三角形ABCがあって、∠ABC=20°、∠ACB=30°あって
外心Oが△ABCの下のほうにあります。
△OBCとあって、∠OBC=α°、∠BOC=β°あります。
角αとβを求めよ。
できれば詳しい解説つきでおねがいします。
ほんとにわかんないんです。

(2)△ABCの外心をOとする。∠BAOの二等分線が外接円と再び交わる点をDとするとき
AB//ODであることを証明せよ。

図が思い浮かばず、こういう証明問題は本当に苦手です。;;

(3)△ABCの辺BC,CA,ABの中点をそれぞれ、L,M,Nとする。
△ABCの外心Oは△LMNの垂心であることを証明せよ。

どうやって証明していくんでしょうか?
外心であるところを利用するようなんですが、証明問題は苦手でうまくいきません。
どうか易しく教えてください。
おねがいします。

A 回答 (1件)

図を書くことができるようにならなければいつまでたっても証明が出来るようにはなりません。

問題文の通り書けばいいのですからやってみることです。外心とか垂心がどういうものかは教科書に載っているはずです。
外心:外接円の中心
AO=BO=CO(=半径)となるので各辺の垂直二等分線の交点になります。
垂心:各頂点から対辺に下ろした垂線の交点

(1)、∠A=180-(20+30)=130°、2α+β=180°
BCの下側(Aと反対側)の円周上に点Dを取ります。
∠A+∠D=180°、∠D=β/2
これでβが分かります。

(2)、∠ODA=∠OAD=∠DABです。これでABとODが平行であることが出てきます。

(3)垂心と外心の定義の通りです。図を描けば分かります。

∠ABC=20°、∠ACB=30°
    ABC=20°、∠ACB=30°
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Q下の図において、点Oは△ABCの外心である。α、βを求めよ。 の問題で、これ↓が簡単に解ける式 を知

下の図において、点Oは△ABCの外心である。α、βを求めよ。 の問題で、これ↓が簡単に解ける式
を知りたいです。解説も入れて下さいると助かります。

Aベストアンサー

下図のようになっています
補助線赤をひくと
OA,OB,OCはともに半径ですから長さは同じです。
よって△OAB,△OBC,△OCAはそれぞれ2等辺三角形となります。
従って赤で示した角度が15°と50°であることが分かります。
次いで△ABCの内角の和から緑で示した部分は25が分かります。(50+50+15+15+25+25=180)
これらのことからα=15+50=65°
β=180-25-25=130です。
円周角の定理からβ=2αであることに気が付ければ
αが分かった時点で
β=2x65=130°となることが分かります。

Q本気で分からない外心と垂心

[1]

外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。

自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか(全部間違えてそうだけど・・)
どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。
以下、私の答えです。

△ABCの外心をOとすると
点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON
OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより
OL⊥MN
OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより
OM⊥LN
ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより
ON⊥LM
以上より点Oは△ABCの垂心でもある。
よって△ABCは正三角形である。

教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか?


[2]

鋭角三角形ABCの垂心をH、外心をOとし、Oから辺BCにおろした垂線をOMとする。
また、△ABCの外接円の周上に点Kをとり、線分CKが円の直径になるようにする。
このとき、次のことを証明せよ。

(1)BK=2OM

(2)四角形AKBHは平行四辺形である。

(3)AH=2OM

どれも難しくて分かりません。。
易しく教えてください。
おねがいします。

[1]

外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。

自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか(全部間違えてそうだけど・・)
どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。
以下、私の答えです。

△ABCの外心をOとすると
点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON
OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより
OL⊥MN
OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BC...続きを読む

Aベストアンサー

[1]は、点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
といったとき、△ABCが正三角形のときしかこのような線は引け
ませんよね。
正三角形を仮定して垂心と外心が一致するというのではなくて
垂心と外心が一致すると仮定してそれが正三角形になるといいたい
わけですよね。

[2]
(1)△COM∽△CKB(2組の角)なので、
  CO:CK=OM:KB=1:2です。
(2)直線AHはBCに垂直、KBもBCに垂直なのでKB//AH
 (同位角が等しい)
 直線BHはACに垂直、∠KACは直径の弧に対する円周角
 なので90°だから、BH//KA(同位角が等しい)
 よって、2組の対辺がそれぞれ平行といえます。
(3)(2)から、KB=AHだし、(1)からKB=2OMなので、
 AH=2OMです。

Q下の図において、点I は△ABCの内心である。‪ α‬を求めよ。(2)と(3)の解き方が分かりません

下の図において、点I は△ABCの内心である。‪
α‬を求めよ。(2)と(3)の解き方が分かりません!解説のほどよろしくお願いします。

Aベストアンサー

三角形の内心は角の2等分線上にあるので
2
∠BCI=40°なので∠BCA=80°
∠B=180°ー∠C+∠A=40°
∠ABI(a)=∠B×1/2=20°

3
∠A+∠B+∠C=180°から
∠B+∠C=180°-50°=130°
∠IBC=1/2∠ABC、∠ICB=1/2∠ACBから
∠IBC+∠ICB=130°/2=65°
a=180°-65°=115°
a=115°

こんなのでどうでしょうか?

Q高校1年数学!内心・外心

この問題は
αの角度を求める問題なんですが、答えが115゜になる意味が解りません(*_*)
私は100゜だと思っていました;

ちなみにIは△ABCの内心だそうです。

回答お願いします。

Aベストアンサー

NO1です
最初の方の説明ですが
内心ということはIBは∠ABCをICは∠ACBをそれぞれ二等分していると言った方がわかりやすいですね。

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下の図において、点Gは△ABCの重心である。
(1)BD (2)AG が分かりません!解説ありでお願いします。教えてくださると助かります、

Aベストアンサー

重心は各辺の中点と対角を結んだ線(中線)の上にあるのだから、DはBCの中点
よってBD=CD=3

重心は中線を2:1に分けるので、AG=7x2/(2+1)=14/3

Q下の図において、‪α‬を求めよ。ただし、Oは円の中心とする。 下の図の問題が分かりません!!解き方と

下の図において、‪α‬を求めよ。ただし、Oは円の中心とする。 下の図の問題が分かりません!!解き方と解説のほどよろしくお願いします

Aベストアンサー

∠BCD=180-82=98°
∠BAD=82°
α=180°-64°-82°=34°

∠ABD=180°-∠ADC=180-118=62°
BCは円の直径 ∴メラに臼の定理 or 円周角の性質 より∠BAC=90°
∴∠ACB=180°-90°-62°=28°

どちらも外接円を持つ四角形の向かい合う角の和は180°であることを使いますね


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