原子の中の原子核と電子

原子は、原子核と電子から構成されていますね。それらは、プラスとマイナスの電荷を持っていますね。それなのに何故、原子核と電子は衝突してしまわないのでしょう。素粒子の実験では、加速器という装置を使って、素粒子同士をぶつけることができるそうですが、このような衝突が何故、原子の中で起こらないのでしょうか。みなさん、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/02/04 14:55

stomachman さんの言われるように，２０世紀初頭の大難問でした．

1911 年にラザフォードが原子核＋電子という模型を提出して以来，
1913 年のボーアの量子仮設などを経て，1926 年にシュレーディンガーが
水素原子のシュレーディンガー方程式の解を示したのが最終解決ですね．
３人ともノーベル賞を受けています．
ラザフォード・・・・・・・・1908年，ノーベル化学賞
ボーア・・・・・・・・・・・1922年，ノーベル物理学賞
シュレーディンガー・・・・・1933年，ノーベル物理学賞

○ 前期量子論風に簡単にやってみましょう．
電子が陽子の周囲を半径 a の円軌道で回っているとして
(本当は回っているわけではないが...)
陽子－電子間のクーロン引力が e^2/a^2
(4πε0 がついていないのは cgs 非有理化単位系を使っているから)
遠心力が maω^2 (ωは回転の角速度)，
両者が釣り合うから
(1)　　　e^2/a^2 = maω^2
速度は v = aω で，運動量 p は
(2)　　　p = mv = maω
stomachman さんの言われる電子波の波長λは，
ド・ブロイ(これも1929年のノーベル物理学賞)の関係式(1924年)で
(3)　　　λ = h/p
h はプランク定数．
円軌道一周が 2πa の長さですから，これが波長λの整数倍でないと
一周したときに波の頭としっぽがずれてしまう．
(4)　　　2πa = nλ　　(n は自然数)
で，(1)～(4)から，簡単に
(5)　　　a_n = n^2 h^2 / 4π^2 m e^2
で，円軌道の半径が h^2 / 4π^2 m e^2 の n^2 倍しかとれない，
というようになっているのがわかります．
n = 0 では電子波がなくなっちゃいます．
エネルギー E_n は，運動エネルギー mv^2 = ma^2 ω^2 と，
クーロン力のポテンシャルエネルギー -e^2/a (負号は引力だから)の和で，
(6)　　　E_n = - 2π^2 e^4 m / n^2 h^2
で，これも離散的な値を取ります．
stomachman さんの E = mc^2 は何か誤解されているようですね．
エネルギーが E_n で量子化されていますから，
状態間を移るためにはそのエネルギー差の出し入れが必要なです．
それが電磁波のエネルギー hν になっているので，
吸収や放出する電磁波の波長は特定のものしかあり得ません．
ここらへんは stomachman さんの言われるとおり．

○ 上の前期量子論風の話は，きちんとした量子力学の定式化の話からすると
まずいところがあれこれあります．

○ ド・ブロイの波長の話は大分後の話で，前期量子論では作用積分の量子化
という議論になっていました．

○ もうちょっと簡単に言うなら，
電子が陽子の場所に落ち込んで動かなくなってしまうと，
場所が決まり運動量も決まってしまうので，
ハイゼンベルクの不確定性原理に違反する，という言い方も出来ます．

○ エネルギーが離散的な値を取るのは束縛状態(E < 0)だけで，
非束縛状態(散乱状態)の E > 0 では，エネルギーが連続的な値をとります．
量子力学では何でもエネルギーが離散的というわけではありません．
よく誤解されるようですが，量子力学という名前が悪いのかな？
加速器で陽子を原子核に打ち込むような話では，
陽子のエネルギーは連続的に取り得ます．

○ 加速器でよく使われるのは，
陽子や重陽子(重水素の原子核，陽子１個＋中性子１個)や
α粒子(ヘリウム４の原子核，陽子２個＋中性子２個)を
標的の原子核に打ち込むというものです．
標的がうまく取り込んでくれれば，原子番号が１か２大きい原子核ができます．
超ウラン元素のはじめの方はこのようなやり方で作られました．
後の方の元素はクロムイオンを鉛原子核にぶつけるなど，しています．
陽子も原子核も正電荷を持っていますから，クーロン反発力があります．
十分距離が近づけば核力の引力が作用しますが，そこまでクーロン反発力に逆らって
近づけるために加速器で加速するのです．

この回答への補足

回答、ありがとうございます。
新たな疑問が、わいてまいりました。もしよろしければ、参考になるアドバイスがほしいのです。
原子核に電子が落ち込まないことの説明に、不確定性原理を使うことができるようですが、加速器での衝突の時、素粒子同士がぶつかるのは不確定性原理に違反してはいないのですか(私の不確定性原理の理解が、あやふやの可能性があるのですが)。

補足日時：2001/02/04 17:10

No.21 回答者： guiter 回答日時： 2001/02/06 15:51

質問と離れてはいけないので短めにしておきます。

＞ちょっと下手すりゃ、絞った積もり、ぶつけた積もり、になっちゃいそう。
一応、加速器のリング中にはビーム幅や位置を見るためのモニターがあります。
あとは、絞れてなかったりすると得られるデータ数が明らかに減ってしまいます。
そのときは加速器の方が微調整をしてくれます。

＞安定な細いビーム
ほとんどは siegmund さんが説明をされている通りです。
あとは、安定といってもビームの寿命は 100sec ほどです。
また、やはり効いているのはクーロン反発ですね。
パウリ原理が効くほど密度の高いビームが作れれば実験もすぐに終わるのでしょうけれど、、、

No.20 回答者： siegmund 回答日時： 2001/02/06 13:46

> 原子核の所に少しでも存在確率があるのは問題じゃ？

そういうのは衝突とは言わないようです．
衝突という表現は(半)古典的概念で，
量子力学と両立させるなら，波束をつくって，
２つの波束が(ほぼ)同じ位置に来たときに衝突というのでしょう．
水素原子の定常電子軌道では，ボーア半径のあたりに電子の存在確率が大きいわけで
これだと単純な波束概念にはならないので，仕方なしに「電子が回っている」
と言っているのです．
でも，「電子が回っている」という表現は誤解を招きやすい．
例えば，ｓ軌道なら角運動量ゼロですが，
「回っている」なら角運動量がありそうと思われてしまう．

> 原子核の体積が見える位近づいたあたりから、
> 存在確率が下がって０になっちゃうんだろうと思います。

そうはなりません．
点電荷のポテンシャルがお気に召さなければ，
半径δの球内に一様に電荷が詰まっているようなモデルのポテンシャルを
取ることもできます．
これだと，ポテンシャルは
r > δ なら -e^2/r
r < δ なら -e^2(3δ^2 - r^2)/δ^3
です．
２つの領域でそれぞれシュレーディンガー方程式を解いて，
r = δ のところで，波動関数を接続することになります．
ちと面倒ですからやりませんが，
原点でも波動関数はゼロにはなりません．
この種の問題で波動関数がゼロになるのは，
ポテンシャルが正の無限大のところに限ることが知られています．

上のことは，ｐ軌道やｄ軌道で原点の波動関数がゼロであることの
理由にもなっています．
ｓ軌道以外ですと，
波動関数を動径部分と球面調和関数に分離して動径部分の方程式を作ったとき，
遠心力ポテンシャル L(L+1)/r^2 が出てきます(係数は省いている)．
遠心力ポテンシャルは r→0 でクーロンポテンシャル -e^2/r にうち勝ち，
原点でポテンシャルが正の無限大になります．
このような理由で，ｓ軌道以外では原点で波動関数がゼロです．
ｓ軌道なら L=0 だから，L(L+1)/r^2 は効きません．

No.19 回答者： stomachman 回答日時： 2001/02/06 04:23

siegmund先生＜　しつこくて申し訳ございません。

●フェルミコンタクト
> 陽子の半径は 0.8×10^(-15) [m] 程度，
> ボーア半径は 0.5×10^(-10) [m]
> ですから，事実上問題にならないでしょう．

なるほど。でも
> 何故、原子核と電子は衝突してしまわないのでしょう

というのがbigseaさんの御質問ですから、原子核の所に少しでも存在確率があるのは問題じゃ？
　stomachmanのカンとしては、原子核の体積が見える位近づいたあたりから、存在確率が下がって０になっちゃうんだろうと思います。

●磁場があっても一緒
　２つに一つで言ってみたんですがハズレでした。磁場は効かない。ボソンは縮退できる、ということがホントに本質的なんですねえ。１個だとフェルミオンもボソンも関係ない。

●nmのビーム
　粒子速度の揃った細いビームと一緒に飛ぶ座標系から見れば、電子気体の温度が低いんじゃないかと思ったのですが...熱いとすぐ広がってしまうでしょうから。だとすると、この座標系で見てそれぞれの粒子のΔpは結構小さいのでは？という疑問でした。（「Δpが小さい」はやっぱりスカタンのような気がしています。）電子気体は心配するほど冷たくないのかも知れませんし、或いは熱い電子がビームからどんどん飛び出して、自発的に蒸発冷却するのかも知れません。
　相対論的効果で、ビームの広がるのが遅くなるだろうとは思います。どうやら、いろいろな要素が絡んでいて簡単にはわからないもののようですネ。

No.18 回答者： siegmund 回答日時： 2001/02/06 01:20

> おおっと、もうおしまい？

いやいや，閉めるのは私じゃありません．

もっと難しくなってきましたね(^^;)

○ フェルミの接触相互作用の話
数学的には stomachman さんの言われるとおりですが....
陽子の半径は 0.8×10^(-15) [m] 程度，
ボーア半径は 0.5×10^(-10) [m]
ですから，事実上問題にならないでしょう．
ρ=r/a_0 と無次元化した距離で見て(a_0 はボーア半径)
例えば，Ｌ殻(n = 2)のｓ軌道は，ρ依存性が
(1)　　ψs ～ (2-ρ)exp(-ρ/2)
ｐ軌道は
(2)　　ψp ～ ρexp(-ρ/2)
陽子表面で ρ～10^(-5) ですから，
存在確率 |ψ|^2 ではｓとｐの両者で 10^10 くらい違ってしまう．
したがって，事実上ｓ電子しか接触相互作用には効かない．

ただし，鉄属のｄ電子はｓ電子との相互作用を通してフェルミの接触相互作用に
影響を与えていることが知られています．

○ フェルミオンかボソンか
非相対論的枠組で議論する限り，１粒子状態には違いは出ません．
磁場の効果は，運動量ｐをｐ-eA/c に変える(A は磁場のベクトルポテンシャル)ことと，
HS のゼーマン項(Ｓはスピン)をハミルトニアンに付与する，
の２つです．
だから，フェルミオンかボソンかは１粒子状態を作ることには関係ありません．
もちろん，スピン 1/2 のボソンはないわけで，そういうことは話が別です．

○ ビーム
こういう話は専門じゃないんですが...
速度のばらつきが少ないのというのは，
送り出したたくさんの粒子についての速度のばらつきであって，
不確定性原理のΔpとは無関係でしょう．
つまり，たくさん波束を送り出した．
その波束の形がそろっている，というわけです．
一つの波束を作るために必要なｐの範囲がΔpで
一つの波束の広がりはΔp と不確定性関係から決まるΔx です．．
極低温はなにか誤解されているようです．

パウリ原理とクーロン反発は言われるとおりと思いますが，
あとはビームの粒子密度(or 波束密度)の問題ですね．
波束が重ならないようだったらパウリ原理は関係がありませんね．
クーロン反発は相互作用が長距離だからもっとシビアな気がします．

No.17 回答者： stomachman 回答日時： 2001/02/05 06:15

stomachman自分つっこみです。

↓の、細いビームに絞る話に関する便乗質問で：
> だって荷電粒子が集まれば相互に反発するでしょう？
それどころか、安定な細いビーム->速度のばらつきほとんどなし->極低温->Δp～0 ->不確定性原理でΔx>>h -> 波束がうんと広がる->ビームが狭いから粒子同士の波束が重なる-> 粒子がフェルミオンだったらパウリの排他則でかたまって居られない... ってことになっちゃいませんか？真空中じゃクーパー対にもならないだろうし.....でもぶつけているのはボース粒子に限らないようだし....。謎が深まってしまいました。

No.16 回答者： stomachman 回答日時： 2001/02/05 05:25

おおっと、もうおしまい？　だったら、閉まる前に便乗しちゃおう。

●s軌道。この質問に於いてはカナリ重要ですよね。んで、siegmund先生の
> (1)　　　ψ(r) = 2 (1/a_0)^(3/2) exp(-r/a_0)
これって、原子核のサイズを無限小とみなして出てくる式じゃないのかなあ？ですから、原子核のホントに近くだとちょっと逸脱していそう。そのあたりのちょっと外でψ(r) ～ 2 (1/a_0)^(3/2) だとして、一方、磁気モーメントを持つ原子核の場合、双極子の特異点まで行かなくたって～1/r^2 の因子がありそう。だからr=0で(1)式右辺が有限であることは、フェルミ接触相互作用にとって必須ではないような気がしたりしてますが、いかがなもんでしょう。

●電子がフェルミオンかボソンかによって、計算上違いが出ないのは、(1)周囲に磁場がない。(2)電子１個だけ。という条件だからですよネ？水素分子になれば共有結合だからボソンて訳にはいかない。のかな？あれ？

●guiter先生のビームをnmに絞る話。スッゴイですよね。ちょっと下手すりゃ、絞った積もり、ぶつけた積もり、になっちゃいそう。どうやって？はここで尋ねると大変そうですからパス。でも安定に細くなるもんでしょうか？だって荷電粒子が集まれば相互に反発するでしょう？（ってこれでも大変か...）

No.15 回答者： siegmund 回答日時： 2001/02/05 04:12

> なんだか話が凄いとこまで行っちゃって...

> この質問をこのまま開けておくと原子構造の教科書ができあがっちゃいそうです

ちょっと調子に乗りすぎました．
もうおしまいにします．

「アマチュア科学者」白揚社，面白そうですね．
私も買ってこよう．

> 放射線が危ないという批判をものともせず実践した読者は相当数いたんじゃなかろうか。

霧箱で自然放射線はともかく，手作りヴァンデなんて大丈夫かな？
1950年代はまだ放射線の危険度認識が甘かったですからね．
そういえば，マリー・キュリーも
娘のイレーヌ・キュリー(ジョリオ・キュリー夫妻の奥さん)も
白血病で亡くなっています．

> ニュートリノ実験用プールとシンクロトロンをあしらったガーデニング

庶民には(じゃなくても)無理ですよ～．

No.14 回答者： stomachman 回答日時： 2001/02/05 03:17

なんだか話が凄いとこまで行っちゃって...この質問をこのまま開けておくと原子構造の教科書ができあがっちゃいそうです。

ホェ～

さて、全くの余談でございますが：
> 素粒子の実験では、加速器という装置を使って
　実はご家庭でこの実験をやることも不可能ではないようです。
　これまでの議論にもちょっと出てました核磁気共鳴(NMR)。その実験装置の自作法が米国の一般向け科学雑誌Scientific American誌に1950年代に連載された記事The Amateur Scientistで解説されてた、と聞いてstomachman邦訳を手に入れましたよ。「アマチュア科学者」白揚社 です。（残念ながら核磁気共鳴実験装置は「省きました」って、がっくり。）
　それはさておき、その記事の中に「趣味の原子物理実験」が載ってました。
・ピーナツバターの瓶やトイレ用のゴムの「きゅっぽん」で霧箱を作る。霧箱に磁場を掛けて自然放射線の霧箱写真を撮ろう！
・空き缶とゴムベルトで、35万ボルトを発生するヴァンデグラフ装置を作ろう！
・この高電圧を使った静電型加速器を作って、原子核をぶち壊そう！
てな調子で工作上の細かいコツまで懇切丁寧に解説されてます。すべてdo it yourself。図面は無くて「絵」が載っています。手製装置による粒子シャワーの霧箱写真も載ってます。

　放射線が危ないという批判をものともせず実践した読者は相当数いたんじゃなかろうか。ともあれ広いガレージや地下室のあるおうちがうらやましいですね。ニュートリノ実験用プールとシンクロトロンをあしらったガーデニングができるようなのがいいなあ....

No.13 回答者： siegmund 回答日時： 2001/02/05 03:11

siegmund です．

○ ryumu さん
> 結局は電子の波動性ですか・・・。

おっしゃるとおりと思います．

○ bigsea さん
> 加速器での衝突の時、
> 素粒子同士がぶつかるのは不確定性原理に違反してはいないのですか．

素粒子同士がぶつかって，クォークの組み換えが起こり，
違う素粒子になって飛び去ってゆくのでしたら大丈夫ですね．
そこらへんは guiter さんの書かれているところをご覧ください．
例えば，陽子を何かの原子核に打ち込んでうまく一体になったら，
なんだか不確定性原理に違反するような気がします．
実は，原子核の中の陽子と中性子も一点に静止しているわけではなくて，
原子核内で(いわば)動き回っています．
そういうわけで，不確定性原理には違反しません．

○ bigsea さん
> ｓ軌道で、原子核にも電子の存在確立があるって不思議な感じがします

私も不思議な気がします．
ただし，事情は非常に微妙でして，例えば水素原子の１ｓ軌道の波動関数は
(1)　　　ψ(r) = 2 (1/a_0)^(3/2) exp(-r/a_0)
です．a_0 はボーア半径．
で，存在確率が |ψ(r)|^2 ですから，(1)からすると |ψ(0)|^2 が有限で
原点(原子核の位置)でも存在確率があるように見えます．
ただし，ある体積(球殻 r～r + dr としましょう)で電子を見いだす確率は
体積要素 4πr^2 dr をかけないといけません．
で， |ψ(r)|^2 4πr^2 は r=0 でゼロになってしまいます．
そうすると，motsuan さんの言われたフェルミの接触相互作用は大丈夫？
この相互作用の元になっている機構は，
原子核の磁気モーメントが双極子型磁場を作り，
その磁場を電子の磁気モーメントが感じるという仕組みになっています．
で，双極子型磁場の原点での特異性のところからちょうど 1/r^2 が出てきて
体積要素の r^2 とキャンセルし，
フェルミ接触相互作用が |ψ(0)|^2 に比例した有限の大きさで求められる，
という本当に微妙な状況になっています．
こういうわけで，motsuan さんの書かれているように
核磁気共鳴の情報から電子の |ψ(0)|^2 の情報がわかります．