閉包と集積点と内部

閉包と集積点と内部（及び境界）の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A￣は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ（φは空集合）であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩（A－{x}）≠φとなるxの集合
（Aの相違な元列が１点Pに近づくときのPのこと…？）
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間（X,τ）の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

No.7 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/01/17 23:15

＞現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること？と理解しています。

それは正しいのですが，もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか？
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが，
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません．
これは初心者がよくおかす勘違いです．

例：
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください．
非数学科の方が応用が主眼なので，より複雑なものが
でてくる傾向があります．
＃顕著な例は，金融方面の確率偏微分方程式とか
＃工学系だと，なにかの状態空間の議論かな，位相とか使いそうなの．

この回答への補足

丁寧に回答していただきありがとうございます。
まさにこのような具体例を知りたかったので非常に参考になりました。
おっしゃる通り開集合と閉集合しかないと思っていました。
すごく納得できました。

テキストは大部分が記号だけの説明で、数学というより日本語として本当に読解できているのかが不安になります。
基本的なことからこつこつがんばってみたいと思います。

補足日時：2008/01/18 00:27

No.6 回答者： taktta 回答日時： 2008/01/17 17:56

位相を距離空間による位相が入っている場合で考え方になれた後、抽象化された位相空間に入られたらすっとわかるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やってみます。

お礼日時：2008/01/18 00:24

No.5 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2008/01/17 15:18

大学の数学科、数理科学科の学生が位相数学、位相空間を学習する場合と、それ以外の学部学科の学生、一般の人の学習とを分けて考えたほうが親切だと思います。

数学科の学生の場合、No.1からNo.4の回答は正しいと思います。一般の人が位相空間を学習する場合、教科書を選ぶところから大変です。有名な教科書「集合・位相入門」松坂和夫著、「トポロジー」竹ノ内修廣川書店を手に入れて、実際に読んでみると、なかなかすすまない。やさしい教科書をさがして、数学３０講シリーズ「集合への３０講」「位相への３０講」朝倉書店にたどりつけば、少しはかどる。日本評論社「はじめよう位相空間」大田春外著には、質問を受け付けるホームページもある。
特に仕事で必要な人以外は、時間をかけてじっくり挑戦してください。「理系への数学」という雑誌でも、位相数学の入門講座が連載されているようです。http://www.gensu.co.jp/
http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/index.htm

参考URL：http://www.ipc.shizuoka.ac.jp/~echohta/top.html

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちょうど、「集合への３０講」「位相への３０講」や「解いてみよう位相空間」にたどり着いたところでした。
本来のテキストは定義がずら～っと書いてあるだけで、イメージもできなかったので苦しかったのですが、どのような考え方をすればいいのかがやっとわかってきました。
貴重な情報ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/18 00:23

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/17 00:52

>いろいろな教材を見てもいまいち"どんなモノ"のことを言っているんだろうと想像できないんです。

結論としては、経験を積むしかありません。

位相の概念は upperupper さんも記載しているように非常に単純なものです。
単純なだけに、その適用範囲は非常に広いです。

様々なサンプル、例題の載っている参考書を見ながら一歩ずづ進むしかありません。
この回答欄でちょろっと書けるような内容ではありません。

この回答への補足

ありがとうございます。
がんばってみます。

補足日時：2008/01/18 00:19

No.3 回答者： taktta 回答日時： 2008/01/17 00:44

Aが開集合だったらi(A)＝A？

そのとおりです。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/01/16 23:19

引用開始

閉包は、A￣は、Aという開or閉集合を含んだ閉集合で、Aを包み込んでいるもの。
集積点は、開or閉集合の中の元が近づいていっている点
内部は、開or閉集合Aの中の元xの近傍V(x)がそのAの中にある場合、それらを全部集めた集合なので、Aの中にある開集合の一番大きいもの。。。Aが開集合だったらi(A)＝A？

引用終わり

十分では？ただし間違えあり．
閉包も内部も集積点も
閉集合・開集合だけを相手にしたものでは
ありません．
もちろん，Aが開集合のときは i(A)=A だし
i(A)=AならばAは開集合です．

この回答への補足

回答ありがとうございます。

閉包は、包み込んでいるものと書いたのですが、
例えば、全体集合がＲでその中にＣ⊂Ｂ⊂Ａという二つの部分集合があった場合、Ｃ￣とは、上記の集合が閉集合であるならば、ＢもＡもＲも閉包と言えるのですか？
もし、Ａ、Ｂ、Ｃが開集合であった場合は、どう考えればいいのですか？

あと、「閉集合・開集合だけを相手にしたものではありません．」とは、どういうことでしょうか。恐縮ですが、もうすこし教えてください。　位相ということですか？
現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること？と理解しています。

補足日時：2008/01/16 23:24

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/16 20:30

>初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。

そういうのは人に教えてもらうようなモンじゃないよ。
定義から自分でイロイロ考えてこそ「わかる」ようになるのです。

まずは upperupper さんが何処までわかったのかを補足にどうぞ。
そして不明な箇所をもっと明確にして下さい。

この回答への補足

あまりに漠然とした質問で申し訳ないと思っています。
ただ、これらを考える上で、どのように頭の中にイメージしながら論述していくのかを知りたいと思っています。
定義、定理を覚えて、ある定理を使えば、この問題は解けるというような勉強では理解できないと思い、自分の中で関係をイメージをしながら、定義、定理を利用できないか、その為には、なんかすごく簡単な一例やどういう思考方法で向き合えばいいのかを知りたかったのです。
いろいろな教材を見てもいまいち"どんなモノ"のことを言っているんだろうと想像できないんです。甘えです。。。

少なくとも、今理解していることを書いてみます。
開集合、閉集合はわかっていると思います。
あるxで、xの近傍をV(x)としたらV(x)⊂AとなるものAは開集合です。
Aの境界までを含むAは閉集合です。開集合の補集合

閉包は、A￣は、Aという開or閉集合を含んだ閉集合で、Aを包み込んでいるもの。
集積点は、開or閉集合の中の元が近づいていっている点
内部は、開or閉集合Aの中の元xの近傍V(x)がそのAの中にある場合、それらを全部集めた集合なので、Aの中にある開集合の一番大きいもの。。。Aが開集合だったらi(A)＝A？

補足日時：2008/01/16 22:36