正規分布を両対数グラフにプロットする

正規分布している事象があるとして（例えば、身長と個体数）、
身長を横軸、縦軸を累積度数にして両対数グラフ上にプロットすると曲線を描きますよね？
この曲線を一般的に式に表すとどういった式になるのでしょうか。
適当にモデルを作って軽く計算してみたのですが、こんがらがってしまいました・・・・
ベキ乗則に従う事象と正規分布する事象を同じ両対数グラフ上にプロットして、さらに回帰曲線をひきたいのです。

どうかよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： phusike 回答日時： 2008/02/02 01:05

通常の目盛りにはxをプロットする時、

対数目盛にはlog xをプロットすると思えばよいのです。

つまり、対数目盛でxが 1 10 100 1000……と等間隔に続くのは、
通常の目盛りでlog xが0 1 2 3 ……と続くのと等価ということです。

例えば、片対数グラフでは、対数目盛をy軸に取った場合、
(x, log y)をプロットすればよいのです。
ですから、 y = b exp(ax) の時、
log y = ax + log b となり、
傾き a 、切片 b の直線が表示されるわけです。

両対数グラフではどうなるかというと、
(log x, log y) がプロットされるわけですから、
y = b x^a をプロットすると、
log y = a log x + b となり、
やはり傾き a 、切片 b の直線が表示されます。

さて、正規分布を両対数にプロットするとどうなるかを理論的に考えましょう。
y = c exp[-b(x-a)^2] ですから、
両辺対数を取ると、
log y = -b(x-a)^2 + log c
x = exp(log x)ですから、
log y = -b exp(2 log x) -2ab exp(log x) - ba^2 + log c
つまり、指数関数の和という複雑な形になるわけです。

このことから考えて、正規分布する事象を両対数グラフにプロットするのは
あまり上手いやり方ではないと思いますが、いかがでしょうか。

ちなみに、片対数グラフであれば、
y軸を指数関数に取ると、
log y = -b(x-a)^2 + log c となり、
ちゃんと放物線が出てきます。
ただ、逆にこの場合は冪乗が汚い形になりますが。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2008/02/01 16:45

直線になるはずですが、、、

この回答への補足

言葉足らずですみません。
両対数グラフにプロットしたとき、
べき乗則に従う分布（フラクタル分布）→直線
正規分布→曲線
になると思ったのですが、そもそもその認識も間違っているということでしょうか？？

補足日時：2008/02/01 18:31