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自然定数を底としたとき、log π (=ln π)は、どのように評価できるでしょうか?
π=3.1459・・・です。

少数第3位くらいまでの評価をしたいです。

A 回答 (4件)

No.2, タイトルに「手計算で」って書いてあるの、見落としました。


lnをテイラー展開
  ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 - .....
で計算しようと考える。πとeはかなり近い値なので、xを
  π = (1 + x) e
とすれば0<x<0.2ぐらいになるだろうから、xのべき乗はどんどん小さくなっていく。というわけで、
  ln(π) = 1 + ln(1 + x) = 1 + x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 - .....
を計算する。答を小数点以下3桁欲しいってことは、xは小数点以下4桁あれば足りるだろうから、
  x ≒ 3.1416/2.7183 -1 = 0.1557
そして
  x² ≒ 0.0242
  x³ ≒ 0.0038
  x⁴ ≒ 0.0006
もういいでしょう、ということで
  ln(π) ≒ 1 + (0.1557) - (0.0242)/2 + (0.0038)/3 - (0.0006)/4
  ≒ 1.1447
を丸めて 1.145。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2024/03/17 15:03

級数計算ではどの項まで取ればよいかの評価する必要が


ある。つまり解を見て評価してはいけません。

マクローリン展開は
 log(1+x)=x-x²/2+x³/3-(x⁴/4)/(1+θx)⁴
となり、#3さんの計算を使うと
 (x⁴/4)/(1+θx)⁴≦x⁴/4<0.00015
となって、x³の項まで取れば、少数第3位まで得られます。
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この回答へのお礼

>解を見て評価してはいけません。

ご助言ありがとうございます。

お礼日時:2024/03/17 23:10

ln π = 1.144729885849400....

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
計算機ではなく、手計算で評価したく、途中の式をお願いしたいです・・・。

お礼日時:2024/03/17 14:07

logの底は10、lnの底はe、と言うのが普通です。



ln3.1459=1.1461
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
計算機ではなく、手計算で評価したく、途中の式をお願いしたいです・・・。

お礼日時:2024/03/17 14:06

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