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高校数学IIからの質問です。
今指数関数を学習しているのですが、底が0<a<1と1<aの場合をグラフに書いたりしているわけですが、ここでふと思ったのですが、数学では底がマイナスの場合を考えたりすることもあるのでしょうか?グラフすらイメージできませんが。
宜しくお願いします。

A 回答 (4件)

あります.複素関数論では頻繁に取り扱います.



底が e である指数関数 e^x は,e を x 回かけるという
直感的な定義とは全く別の方法で定義できます.
(たとえば e^x = lim_{n→∞} (1 + x/n)^n など)

そう定義した e^x を用いて,一般の複素数 a に対して
 a^x = e^{x log a}
と定義します.ただし log は上で定義した e^x の逆関数です.
こうすると,a が正の数の場合は,普通の a^x と一致し,a が一般の場合も
指数関数が持っているべき性質を一通り保存してくれます.
(なぜこうするかは,複素関数論の話です.
 いつか勉強する機会があるかもしれませんね.)

ちなみに,この定義によれば a を正の数としたときに
 (-a)^x = a^x ( cos(πx) + i sin(πx) )
が成立します.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
複素数ですか、難しい話になるんですね、やっぱり。
更に勉学に励みたいと思います。

お礼日時:2008/03/01 06:13

底の変換公式 log_a x = (log x) / (log a) を使って、


log_a x を a < 0 まで拡張するやり方があります。

そのためには、自然対数 log a が a < 0 まで拡張されて
いなければなりません。しかし、log を実関数と考える限り、
連続関数のまま、負数まで定義域を広げることはできません。

そこで、log の定義 log a = ∫[xが-∞からaまで](1/x)dx の
式中の∫を、実積分から複素積分へ読み替えるという拡張を行い、
log を複素数から複素数への関数としておきます。

このように定義された複素関数 log x は、
x が実数のとき実関数 log x と一致し、
複素数の範囲で、恒等式 log(xy) = (log x) + (log y) など
を満たします。

この複素 log の逆関数を、複素 e^ と定義すれば、
有名な等式 e^(iθ) = (cos θ) + i (sin θ) が成立
するようになります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうござます。
やっぱり難しいですね。大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時:2008/03/01 06:21

数学は、定義とその拡張の歴史です。

そして新しい数学分野が生まれていきます。
自然数→負の整数→有理数(分数)→無理数→実数→虚数→複素数→位相空間→n次元ベクトル→...
高校で扱われる範囲は限定されています。
高校では
指数関数a^xの底が0<a<1と1<aの場合を扱いますが、
a=1の場合は
1^x=1 ですので あえて関数で扱わなくても、定数の方で扱えばいいという事でしょうね。(y=1^x→log(y)=x*log(1)=x*0=0=log(1),y=1)
y=1^x=1(定数)のグラフはy=1のグラフと同じになりますね。
y=1^x=1と定義しておけば、a>0でa^xの定義を拡張できますね。

a=0の時は
0^x=?  0^0=?,0^n=0(n=1,2,3,...),
0^(-1)=1/0=∞ ?,
0^(1/3)=?,0^(√2)=?
拡張は問題がありそうですね。

a<0の場合の拡張
a=-bとおくと b>0
a^x=b^x*(-1)^x
b^xは定義できていますので
(-1)^x
が問題ですね。
x=n(自然数)の時は
(-1)^nは
n=偶数のとき 1
n=奇数のとき -1

x=1/n(nは正の整数)のとき
z=(-1)^(1/n)
z^n=-1
zはz^n +1=0のn乗根で一般的に複素解がn個できます。
n=偶数のとき全部複素数
n=奇数のとき-1と他の(n-1)個の複素解となります。

(-1)^(1/n)はnが奇数の時だけ実数の範囲では-1となります。
複素数まで拡張すれば、nが奇数のとき -1以外に(n-1)の複素数の値を持ちます。nが偶数の場合はn個の複素数の値を持ちます(実数は存在しない)。

(-1)^(m/n),(m,nは正整数,m/nは既約有理数の場合、拡張がさらに複雑ですね。
例えば
(-1)^(2/3)=(-1)^{2*(1/3)}={(-1)^(1/3)}^2= 1,(1±i√3)/2

(-1)^(1+√2)などの一般の実数乗となると拡張が困難ですね。
つまり、定義できないので値がないということになります。
特定の実数、つまり
x=1/(2n-1)の時(複素値も持つ)と
x=nの時
だけ実数の値が存在します(定義可能)ので
実数のXY座標平面で
a^x=(b^x)*(-1)^x,(a<0,b>0)の場合は
飛び飛びのxに対して実数値の値をもつグラフとなります。

しかし、a^xの値が実数xに対して
実数として定義できたり、
虚数の値(虚数の多価関数)になったり(実数値は存在しない)、
実数と虚数の多価関数になったり、
定義できない場合があります
ので、「高校の範囲」では
「a<0の場合は扱わない」
ことになっている。
a=1の場合はa^x=1で定数として別扱いして
指数関数としてはa≠1としている。
という事だと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
>数学は、定義とその拡張の歴史です。
この言葉、グッときました。
やっぱり指数関数をマイナスまで拡張すると難しい話になるんですね。大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時:2008/03/01 06:15

わたしも


グラフすらイメージできません
y=(-1)^x
ですら、分かりません。
x=2で 1
x=1で -1
x=0で 1
x=1/2で i
x=-1で  -1
みたいですけど.....
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そうですよね、イメージできないですよね・・・

お礼日時:2008/03/01 06:09

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