三角形の辺の比と、角度の比の法則

三角形の辺の比と、角度の比の法則があれば教えてください。
3つの辺の比が分かるか、3つの角の比が分かれば、三角形の形が決まるから
辺の比と角の比は相互に求めるための式があるんだとおもいます。

No.5 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/25 23:39

済みません。

>sinA =5t, sinB = 6t, sinc = 7t とおけて
>A=Arcsin(5t),B=Arcsin(6t),C=Arcsin(7t)
>ですので角度の比は
>Arcsin(5t) : Arcsin(6t) : Arcsin(7t)
>となります。

ここでtを出さないといけないことを忘れてました。
このまま計算すると、大変ややこしくなるので、私の#4の回答は無視してください。
#3さんのように、余弦定理を使う方が計算がすっきりします。

a=5k,b=6k,c=7k とすると
cosA＝(b^2+c^2-a^2)/2bc = 60k^2/84k^2 = 5/7
cosB＝(c^2+a^2-b^2)/2ca = 38k^2/70k^2 = 19/35
cosC＝(a^2+b^2-c^2)/2ab = 12k^2/60k^2 = 1/5
となるので、
A：B：C = Arccos(5/7)：Arccos(19/35)：Arccos(1/5)
です。
Arccos は cosの逆関数です。

この回答へのお礼

sinA : sinB ＝ ArcsinA : ArcsinB
にはならないんですね。ありがとうございました。

お礼日時：2002/10/26 01:06

No.4 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/25 23:18

単に比を出したいなら、余弦定理より正弦定理の方がいいでしょう。

△ＡＢＣで
∠Ａ＝∠ＢＡＣ，∠Ｂ＝∠ＡＢＣ，∠Ｃ＝∠ＢＣＡ
辺ＢＣ＝a, ＣＡ＝b, ＡＢ＝c
とします。（∠Ａ，Ｂ，Ｃと辺のa,b,cは互いに向かい合っている訳です）
このとき、外接円の半径をＲをすると
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
が成り立ちます。これが正弦定理です。

>たとえば辺の比が、5：6：7 であるなら、それを使って角度の比を求める計算式はどうなりますか？
この場合、
a=5k,b=6k,c=7k とすると
5k/sinA = 6k/sinB = 7k/sinC　より　sinA : sinB : sinC = 5 : 6 : 7
です。
sinA =5t, sinB = 6t, sinc = 7t とおけて
A=Arcsin(5t),B=Arcsin(6t),C=Arcsin(7t)
ですので角度の比は
Arcsin(5t) : Arcsin(6t) : Arcsin(7t)
となります。

Arcsin = sin^-1 でsin の逆関数です。
Excelでは、関数ASIN で求められます。
（ただし、弧度法のラジアン単位になりますが、比ならラジアンのままでも同じです。）

No.3 回答者： ageha18 回答日時： 2002/10/25 20:38

こんにちは☆

例えば辺の比が分かってて、それが３：４：５だったりしたら、
それぞれ３K、４K、５Kとおいて余弦定理を使って計算すればKは消えるので角度を求めることができます。
余弦定理は、
cosθ＝(b^2+c^2-a^2)/2bc　の形で使います。

この回答への補足

角度の求め方が分かりませんでした。でもありがとうございました。

補足日時：2002/10/26 00:40

No.2 回答者： rei00 回答日時： 2002/10/25 19:34

　参考 URL のページ（高校で学べない人のための三角比と三角関数）の「14.余弦定理：直角でない場合の三平方の定理」や「15.正弦定理：裏・円周角の定理」を御覧になってみて下さい。

　いかがでしょうか。

参考URL：http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/sin.htm

No.1 回答者： Charlie24 回答日時： 2002/10/25 18:59

正弦定理、余弦定理はどうでしょうか？

この回答への補足

たとえば辺の比が、2：3：4 であるなら、それを使って角度の比を求める計算式はどうなりますか？

補足日時：2002/10/25 20:31

この回答へのお礼

値が変でした。
たとえば辺の比が、5：6：7 であるなら、それを使って角度の比を求める計算式はどうなりますか？

お礼日時：2002/10/25 21:08