無限級数 1+2+3+4+… は-1/12！？

これは以前どこかで見たことがある証明問題なのですが、どこで見たか忘れてしまって……
数列の問題なんですが、何でこうなるの？？って感じで。
以下問題です。

まず、次のような３つの数を考える。
A=1+2+3+4+5+6+……
B=1-2+3-4+5-6+……
C=1-1+1-1+1-1+……

次に、
B-A=(1-2+3-4+5-6+……)-(1+2+3+4+5+6+……)
　　　=1-2+3-4+5-6+……-1-2-3-4-5-6-……
　　　=(1-1)+(-2-2)+(3-3)+(-4-4)+(5-5)+(-6-6)+……
　　　＝-4-8-12-20-24-……
　　　=-4(1+2+3+4+5+6+……)
　　　=-4A
なので、
B-A=-4A
B=-3A
A=-B/3

さらに、
C-B=(1-1+1-1+1-1+……)-(1-2+3-4+5-6+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+……-1+2-3+4-5+6-……
　　　=(1-1)+(-1+2)+(1-3)+(-1+4)+(1-5)+(-1+6)+……
　　　=0+1-2+3-4+5-……
　　　=B
なので、
C-B=B
C=2B
B=C/2

そして、
1-C=1-(1-1+1-1+1-1+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+1-……
　　　=C
なので、
1-C=C
1=2C
C=1/2

最後に、
A=-B/3=-C/6
なので、
A=-1/12

となる。


これ、高校の範囲だと絶対間違ってますよね？
この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！

あと、実はこれ、大学の知識を使うと正しい証明になるらしいのですが、残念ながら今の私の知識では果たして本当にこうなってしまうのかさっぱりわかりません。
この証明が本当に正しいのかどうか、正しいとするとどうやったら正しくなるのか、わかる方、回答お願いします！

No.2 回答者： TK0318 回答日時： 2002/10/28 15:10

そもそもA,B,Cの式は収束しないので無限大です。

＃１の書かれているように・・・と続く式は四則演算してはいけません。

＞この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！
よって全部です。

＞大学の知識を使うと正しい証明になるらしいのですが
そんな事ないです。
1-C=1-(1-1+1-1+1-1+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+1-……
　　　=C
は間違っているのは明らかですし。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
訂正が上に書かれているので上にまとめて書かせていただきますね。

お礼日時：2002/10/28 23:47

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/28 14:55

>この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！

恐らくですが。
BとCの級数は収束？しません。
つまり、偶数項で止めたときと奇数項で止めたときで値が異なるので
一般項が項数によって異なります。
従って、単純に四則計算できません。
これが間違いの原因だと思います。

この回答へのお礼

即回答ありがとうございます！
なるほど、級数を数として扱う事に無理があった、という事でしょうか？
しかし、無限級数として考えると計算自体は間違っていない気がするのですが……
B-Aは-4(1+2+3+…)ですし、1+2+3+…はAなのですから。
それともこの考え方が何か間違っているのでしょうか？

お礼日時：2002/10/28 23:46