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こんばんは。わからない問題があるので、考え方だけでも教えていただけると嬉しいです。

問題はδ関数を含む畳み込み積分
f(t)*δ(t-a)=f(a)が成り立つことを証明せよ
というものです。

とりあえず公式にあてはめて∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτ
として考えてみたのですが、
いつも通りf(t)*g(t)の畳み込み積分と同様に考えると、
∫(-∞→∞)f(τ)g(t-τ)dτ=f(t)なので、
∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτ=f(t+a)となってしまい、
証明に近づくことができません;

まったく間違った考え方をしているのだろうなとは思うのですが、
他に方法も思いつかず・・
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

> ∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτ=f(t+a)となってしまい、


そっちが正解だろうと思います。

> f(t)*δ(t-a)=f(a)
は、∫(-∞→∞)f(t)δ(t-a)dt=f(a) の間違いではありませんか?
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
同じ考えの方がいてすごくうれしいのですが、
やはり問題はf(t)*δ(t-a)=f(a)となることの証明なんです。
問題が間違っているのでしょうか・・

あと、仮に∫(-∞→∞)f(t)δ(t-a)dt=f(a)であったとしても、
これを証明するにはどうすればよいのでしょうか。
なんだか当然の定義として使ってきたので、
証明となるとどうすればいいのか分かりません;

お礼日時:2008/05/10 21:02

ANo.1に1票。



その問題が書いてあるのが教科書であるなら、ここで書名と著者名を晒してください。レポートの課題かなんかならば、出題者に文句言うべし。
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この回答へのお礼

先生の作られた問題だと思います。
問題のミスとのことで、安心しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/05/12 18:23

∫(-∞→∞) f(t) δ(t-a) dt = f(a) の証明は、


δ関数の定義のしかたによって異なります。

ワイエルシュトラス流に、
∀g, ∫(-∞→∞) g(t) δ(t) dt = g(0) を
δ関数の定義にしてしまうのが簡単です。
t - a = s で置換積分するだけで、上の式が示せます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
この問題なら解くことができました。
きっと問題のミスですね。
お時間をとらせてしまって申し訳ないです。

お礼日時:2008/05/12 18:22

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f(t)*δ(t-T)=f(t-T)
を証明せよ。という問題なのですが
∫[-∞,∞]δ(x-T)f(t-x)dx
と畳み込みをし、その後
x-T=τと変数変換を行いf(τ+t-T)を作ろうとしたのですが
うまくいきませんでした。

この畳み込みの後どのように行えば証明できるでしょうか?
お願いします。

Aベストアンサー

>∫[-∞,∞]δ(x-T)f(t-x)dx
>と畳み込みをし、その後
>x-T=τと変数変換を行いf(τ+t-T)を作ろうとしたのですが
f(t-x) → f(t-T-τ) の間違い
∫[-∞,∞]δ(x-T)f(t-x)dx
=∫[-∞,∞]δ(τ)f(t-T-τ)dτ ← δ(-τ)=δ(τ)であるから下へ
=∫[-∞,∞]δ(-τ)f(t-T-τ)dτ ← τ=-τ'と置換して下へ
=∫[∞,-∞]δ(τ')f(t-T+τ')(-1)dτ' ←積分の上下限を入れ替えて下へ
=∫[-∞,∞]δ(τ')f(t-T+τ')dτ' ←δ関数の定義を適用して下へ
=f(t-T-0)
=f(t-T)
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Qデルタ関数について

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デルタ関数の2乗を-∞~∞まで積分するとどうなるのでしょうか?
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δ関数を2乗しても∞の∞乗=∞で積分値は1のままなんじゃないかと考えました。
友人の考えは、x=0付近に幅h、縦1/hの長方形を考え、h→0としたのが
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積分値も∞倍されるのではないかというものでした。
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実際はどうなのでしょうか?
分かりにくい説明で申し訳ありませんが、ご存知の方ご教授下さい。

Aベストアンサー

とても良い質問ですね。

δ(x)・δ(x)は通常の乗法としては合理的に定義できません。(矛盾が生じます。)
「定義できない」が答えですので、その-∞~∞の積分も定義できません。

f(x)・δ(x) = f(0)δ(x) という式は、f(x)が x = 0 で正則でないと成り立ちません。f(x)がδ(x)の場合はx = 0 が特異点になっていますので、妥当ではありません。

一般に任意の特異関数あるいは超関数どうしの「積」は定義できません。定義できる場合は関数に条件がつきます。

δ(x - a)・δ(x) = 0 (aが0でない場合)は正しいです。

なお、超関数どうしの「積」として合成積(コンボリュージョン)* を採用すれば、任意の超関数g(x)について、g(x) * δ(x) = g(x) が成り立ちます。
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詳しくは 今井功『応用超関数論』I、II (サイエンス社)

合成積を「積」と考える超関数論は
ミクシンスキー『演算子法』2冊(裳華房)
吉田耕作『演算子法 一つの超関数論』(東京大学出版会)

とても良い質問ですね。

δ(x)・δ(x)は通常の乗法としては合理的に定義できません。(矛盾が生じます。)
「定義できない」が答えですので、その-∞~∞の積分も定義できません。

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Qcos(wt)のフーリエ変換について

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をフーリエ変換したいのですが、
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まではわかったのですが、この後どう進めればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞]f(t)e^(-j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt ((B)を代入)
(A)からF(f)=δ(f)なので
 ∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt =δ(f)
この左辺でt=-t'と置換すると
 左辺=∫[-∞,∞] e^(j2πft')dt'=δ(-f)
が出てきます。
 この式で -f=f'と置換し、f',t'を改めてf,tと書くと
 左辺=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt=δ(f)
が出てきます。
以上から
δ(f)=δ(-f)=∫[-∞,∞] e^(j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt
という関係があることが分かります。

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞...続きを読む

Q方形波をフーリエ変換した理由と分かる事

A――――――――
|       | 
=       |   
|B       発振器
>       |   
<       | 
――――――――
C
AC間とコンデンサーの両端の電圧波形とスペクトル波形があります。(400Hzと4kHzの方形波を流しました。)何が何故最初のピークの奇数倍となってるのでしょうか?またフーリエ変換した理由が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

フーリエ変換する理由はスペクトルアナライザでスペクトルを観測しているから計算結果と比較できるからです。

方形波をフーリエ級数展開したあとフーリエ変換すれば奇数倍の理由はわかります。

補足に方形波をフーリエ変換した結果を書いてみてください。

Qシンク関数のフーリエ変換

現在独学でフーリエ変換を勉強しています。
矩形波のフーリエ変換はsinc関数になることは分かりました。
そこで、sinc関数を逆フーリエ変換すると矩形波となると思ったのですが、
sinc関数のフーリエ変換が矩形波であると書いてあるサイトがありました。

なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるのですか。
また、sinc関数をフーリエ変換する過程が分かりません。
どなたか分かる方がいましたら、途中式をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

フーリエ変換とフーリエ逆変換は双対関係にあるからです。
つまり時間t領域とf(ω=2πf)領域を入れ替えても数式的に
フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係が成り立つ関係にあると言うことです。

詳細は以下URLをご覧下さい。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/index.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/fourieralysis/Fourier/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

>なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるのですか。
>また、sinc関数をフーリエ変換する過程が分かりません。
定義式で
(t,f)→(f,-t)と形式的に置き換えてもフーリエ変換対が成り立つということです。
つまり、g(t)のフーリエ変換をG(f)、G(f)の逆変換をg(t)とすれば定義より
G(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(t)e^(-i2πft)dt
g(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]G(f)e^(i2πft)df
機械的に、(t,f)=(f,t)で置換し、式を上、下入れ替えると
g(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(t)e^(i2πft)dt
G(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞] g(f)e^(-i2πft)df
t→-tで置換すると
g(f)=√(1/2π)∫[∞,-∞] G(-t)e^(-i2πft)(-dt)
=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(-t)e^(-i2πft)dt
G(-t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(f)e^(i2πft)df
G(f)が偶関数であれば、G(-t)=G(t)なので
g(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(t)e^(-i2πft)dt
G(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(f)e^(i2πft)df
(証明終わり)
導出された関係は、G(t)のフーリエ変換がg(f),
g(f)の逆変換がG(t)であることを示しています。
sinc関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0
は偶関数なので、上の式の関係が成立します。
奇関数でも変換の符号が変わる位でスペクトルの絶対値が変わるわけではありません。
また、フーリエ変換対の定義式は、3通り程ありますが、途中の変換で定数倍の係数がかかりますが、波形やスペクトルの形状が変わるわけではありません。

フーリエ変換とフーリエ逆変換は双対関係にあるからです。
つまり時間t領域とf(ω=2πf)領域を入れ替えても数式的に
フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係が成り立つ関係にあると言うことです。

詳細は以下URLをご覧下さい。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/index.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/fourieralysis/Fourier/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

>なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるので...続きを読む

Qsinc関数

sinc関数ってありますよね!
あれって、定義は何なんですか?
sinc x=sin x/x
と思ってるんですが・・・・ある教科書には
sinc x=sin πx/πx
ってなってるんです。どっちが正しいの?教えてください。
あと、読み方なんですけど、何って呼ぶんですか?「シンク」って呼びたくなるんですけど、あってますか?
でも、sinh は「ハイパボリックサイン」呼びますよね~。
教えてください。

Aベストアンサー

 
  これは、「ジンク関数」と呼ぶようです。ドイツ語読みですね。
 
  sinc x=(sin x)/x と sinc x=(sin πx)/πx は、
  πx=X とすると、sinc X=(sin πx)/πx=(sin X)/X で同じことです。
  周期関数なので、周波数に関係して、πを係数として入れておく表現法があるというだけのことでしょう。
 

参考URL:http://www2.dmt.ibaraki.ac.jp/lab/itlab/shinma/ofdm/1/1_func_sinc.html

Q畳み込みについて

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Aベストアンサー

τ で定積分するってことは結果に τ は影響しません. 本当に f(τ) h(t-τ) を計算して τ で定積分すればいいんだけど, f(t) は 0 ≦ t ≦ 1 でのみ 1, その他で 0 となるので τ が 0 以上 1以下でなければ f(τ)h(t-τ) は t に無関係に 0 です. なので, 実質的には
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0 < t ≦ 1
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デルタ関数のフーリエ変換後の波形について質問です

よく見かけるδ(t)のフーリエ変換は1になり、実部で周波数軸に平行の波形になるのはわかるのですが
t=aの位置にデルタ関数のあるδ(t-a)のフーリエ変換後は波形はどうなるのでしょうか?

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詳しい方がいらっしゃいましたら、是非ご教授お願い致します。

Aベストアンサー

>単純にa点のみで無限大、他は0になります。単純な時間シフトです。
>絶対値的に見れば値は一定で、位相だけ変わる、と言う見かたもできます。

上記訂正というか補足します。

時間軸ではa点無限、その他0
周波数軸では絶対値一定で位相は周波数に対し線形に遅れる
=実部、虚部は三角関数になる。


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