正七角形の書き方を教えて下さい。

A 回答 (3件)

一般に「正~角形」の~には360の約数しか入る事ができません。


ですから、7、11、13・・・などは基本的にかけません。
正~角形の基本は円に外接できるものですから。
どうしても、書かなければならないのだったら分度器を使ってやって見て下さい。それでも、正7角形の場合は内角が51.428・・・度と細かくて正確にはかけません。
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この回答へのお礼

言われてみればその通りですね。明快なお答えありがとうございました。

お礼日時:2001/02/14 23:45

ルールを決めて下さい。


分度器使っていいなら小学生の問題ですね。
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定規やコンパスなどを使った作図ということですよね?


正多角形は作図できるものとできないものがあり、
正七角形はできないものに分類されます。

5、6、8角形はできますが、7はできないようです。

参考URL:http://www.kisweb.ne.jp/personal/mathroad/gimo3. …
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この回答へのお礼

早速のお答えありがとうございました。

お礼日時:2001/02/14 23:46

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Q正七角形って書けますか?

仕事場で、たわいもない話から正七角形って書けるか書けないかで、論争になっています。書けるのならその証明方法も教えて下さい?

Aベストアンサー

既に同趣旨の質問があり,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います.

通常の作図のルール(定規とコンパス)で作図できる演算は,
四則と平方根であることがわかっています.
したがって,正n角形(半径1の円に内接としましょう)が作図できるかどうかは,
一辺の長さが四則と平方根で表されるかどうかにかかっています.
別の表現では,複素数 z に関する方程式 z^n = 1 の解が四則と平方根で書けるか
どうかと言うこともできます.
nが大きくなれば3乗根,4乗根,...が必要になりそうですね.
大体そうなのですが,たまたま平方根(2重根号,3重根号,...でもOK)+四則
だけで表現できる場合があって,それが上で紹介したスレッドや Mell-Lily さんの
話です.

既に同趣旨の質問があり,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います....続きを読む

Q正七角形の書き方(その2)

前に類似の質問が出ていましたが、珍回答のまま終結していたのでもう一度スレッド立てます。(わら
円の一周を360度に決めたのは人間が勝手にしたことですから、その360の約数に意味がないのは分かると思います。
数学のカテゴリに質問されているのですから出来ないなら出来ないことの証明が欲しいと思います。
(どこかで聞いたようなセリフかな)

Aベストアンサー

珍回答で終わりは私もありゃ~と思っていました.
回答書いて送ろうと思ったら締め切られていたんですよ~.

360°を割り切れないとダメ,は明らかにおかしいですね.
角の二等分はよく知られていますから,正 2^k 角形 (k>2) を作るのは簡単.
正16角形でもう 360°を割り切れなくなっちゃう.

コンパスと定規で使うという,通常の作図のルールで作図できる正n角形は
Gauss が 1796 年に結論を出していて
n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
に限ることがわかっています.
フェルマー素数とは 2^(2^p)+1 の型の素数で
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかは多分わかっていないんだと思います.

n = 2^k×3×5 の正n角形が作図可能なのは大昔(ユークリッドの頃?)から
知られていました.

なお,正n角形が作図可能であるのと,
円分方程式 z^n = 1 の解が有限回の加減乗除と平方根で書けるのとは
同じことです.

結論として,正7角形は通常の作図のルールでは作図出来ません.

珍回答で終わりは私もありゃ~と思っていました.
回答書いて送ろうと思ったら締め切られていたんですよ~.

360°を割り切れないとダメ,は明らかにおかしいですね.
角の二等分はよく知られていますから,正 2^k 角形 (k>2) を作るのは簡単.
正16角形でもう 360°を割り切れなくなっちゃう.

コンパスと定規で使うという,通常の作図のルールで作図できる正n角形は
Gauss が 1796 年に結論を出していて
n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
に限ることがわかっています.
フェルマー素数...続きを読む

Q「正9角形の作図」について

「正9角形の作図」について

僕は今高校生で数学が好きです。
僕が小学生の頃からずっと考えてきた問題で「正9角形の作図」という難問があります。

もちろん正9角形の作図が不可能であると証明されていることは知っています。
しかしその証明方法は代数的で代数の苦手な僕にとってなかなか理解できません。
(しかも小学生のときならなおさらです。)
小学生の時からコンパスと定規を持ちながら色々とやってきて、
不思議な正9角形の性質など見つけてきましたが、作図には至りません。(もう少しですが)

私は作図はできると思います。
なぜなら、コンパスと定規でプロットできる点、線分は無数にあり、さらにその点、線分同士を結んで
できる新たな線分もあり、有利数倍、無理数倍して、さらに角度も考えたりして…線分と線分の交点同士を結んでもいいかな。
まあ、そうやってできる場合の数全てのなかで、正9角形の形を決定付ける要素
どれか1つと合えば作図が可能だからです。それを証明できるかどうかはまた別の話ですが…

そこで今回質問したいのは以下の2つです。
(1)あなたは「正9角形の作図」ができると思いますか。
(2)私が見つけた正9角形の性質の1つについてどう思いますか?(下に記入)

(1)についてはあなたの意見が知りたいです。有名な数学者が考えたことならば大体知ってます。
できる、できない、どちらにしても理由をお願いします。
(2)については「これで正9角形がかけるよ!!」とか「ふ~ん」とかなんでもいいです。

とにかく僕は人間が考えるよりも前に図形自体が何か人間に語りかけているような感覚に陥るのです。
雪の結晶、ミツバチの巣はなぜ(正)6角形なのか?他にも自然にできた図形は無数にあります。
これらは何の理由にもなっていませんが、作図ができなくもないと思えてくるのです。

英知を求めたいのです。
ご意見よろしくお願いします!!

~正9角形の性質の1つ~
原点Oを中心とする単位円(円O)を書く。
点Q(cos60°,sin60°)、点R(cos120°,sin120°)を結ぶ(y=√3/2)。
点Q、点T(cos300°,sin300°)を通る直線(x=1/2)をひく。
原点を通り、y=√3/2、x=1/2とのそれぞれの交点の距離が2(円Oの直径)となるように直線を定める。
するとこの直線はy=(tan80°)xとなる。
逆に言えばx=1/2とy=(tan80°)xとの交点を点Pとすれば、SP=2となる。(証明済み)
y=(tan80°)xとy=√3/2との交点を点Sとする。
QS=SVとなるように円O上に点Vを定める。
するとこの線分VQは正9角形の一辺の長さと等しくなる。
他にたとえば点B(cos260°,sin260°)、点A(cos220°,sin220°)を定め(VQ=TB=BA)、
VTとQAの交点をαとすれば△VQα∽△TAαとなりどちらも正三角形になる。(証明済み)
ちなみにこの点αは正9角形にとって重要な点であり、この点が決まれば正9角形は作図可能である。

「正9角形の作図」について

僕は今高校生で数学が好きです。
僕が小学生の頃からずっと考えてきた問題で「正9角形の作図」という難問があります。

もちろん正9角形の作図が不可能であると証明されていることは知っています。
しかしその証明方法は代数的で代数の苦手な僕にとってなかなか理解できません。
(しかも小学生のときならなおさらです。)
小学生の時からコンパスと定規を持ちながら色々とやってきて、
不思議な正9角形の性質など見つけてきましたが、作図には至りません。(もう少しですが)

私...続きを読む

Aベストアンサー

No.3の者だが、私の意見も述べることをお許し頂きたい。
これ以上の話はもう、一種の宗教戦争(『思想信条を押し付けあうだけの、精神的疲弊のみが残る不毛な論争』という意味での)になりかねないので、余り乗り気ではないのだが・・・。

カントール曰く、「数学の本質は、その自由性にある」と。これは集合論について言われたことだが、幾何学でも同じことである。
いわゆるユークリッド幾何学の許す、古式ゆかしい作図の方法では不可能であったことが、他のどのような方法を許せば可能になるのか、その新たな方法を探るというのも、また一つの数学の方法である。
(さらに言えば代数学でも同じである。例えば、代数的には一般的解法のない5次方程式だが、ある特殊な関数を導入することで一般解を書き表せると耳学問に知ったことがある。)

作図が不可能であることを証明すること、ユークリッド的な作図の限界を探ることと同様に、敢えて許される手段を少しずつ拡張することで新たに何ができるようになるのか探ることにも数学的有益性はある(もちろん、『何でもあり』のやり方は厳に慎まれるべきであるが)。
自分の作図したいものが本来の作図法では不可能であるならば、新たな方法を探すなり、何なら自分で開発して試してみるのも、教育的に悪いこととは思わない。

スポーツに例えて言えば、ある学生がフットボール(サッカーの原型らしい)の試合中に、ルールでは許されていないのにボールを抱えて相手ゴールへ突撃してしまい、しかしそれが面白そうということになってルールに書き加えられ、それがラグビーという新しいスポーツになった、ということがある。
御存知のように、今でもサッカーはサッカー、ラグビーはラグビーと、異なるスポーツとして楽しまれている。それと同様に、従来の作図法と質問者のような新しい方法での「作図」は、別々のものとしては両立できる。

残念ながら、正9角形はコンパスと定規を本来の方法で用いる方法では作図不可能なのは、宇宙が始まる前から決まっていたとしても良いほどの事実である。
しかし、だからこそ、本来的でない正9角形の作図に作図の条件を緩めて挑むことに数学的興味が出てくる。
質問者も、「作図不可能」という厳然たる事実は踏まえつつ、色々な方法で挑んでみれば良いと思う。


最後に、本来の質問から離れたことばかり記したお詫びに、私のかつて考えた「作図」を披露しておく。この方法は、一般の正n角形へも応用可能である。
もちろん、本来許される方法ではないが、考えること自体は頭の体操としてはかなりのものである。

(1)まず、大きな円の中に、作図可能なことが分かっている正12角形を描く。
(2)この正12角形の12個の頂点と中心とを結ぶ線分を引く。
すると、全て合同で、一番小さな角が30度であるような二等辺三角形12個からなる図形が描かれることになる。
(3)この図形のうち、連続する9個分の二等辺三角形を、まとめて切り出す。
(4)この切り出したものを上手く貼れば、丁度正9角錐の側面が完成する。
(5)この立体の底を平らな面に押し付ければ、底面が正9角形をなしている。

No.3の者だが、私の意見も述べることをお許し頂きたい。
これ以上の話はもう、一種の宗教戦争(『思想信条を押し付けあうだけの、精神的疲弊のみが残る不毛な論争』という意味での)になりかねないので、余り乗り気ではないのだが・・・。

カントール曰く、「数学の本質は、その自由性にある」と。これは集合論について言われたことだが、幾何学でも同じことである。
いわゆるユークリッド幾何学の許す、古式ゆかしい作図の方法では不可能であったことが、他のどのような方法を許せば可能になるのか、その新...続きを読む


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