(1)a,b,cを実数とする。写像ψ:R→Rをψ(x)=x^3+ax^2+bx+cで定義する。このとき、写像ψが単射になる必要十分条件を求めよ。
(2)連続な写像f:(-1,1)→(-1,1)で不動点を持たないものの例を具体的に作れ。
(3)連続な写像ψ:R^2→R^2で、不動点を持たないものの例を具体的に作れ。
(1)については、単射はp≠qのときψ(p)≠ψ(q)を示せばいいのかなと思ったのですが、必要十分条件をどのように答えていいのかわかりません。
(2)(3)については、問題の意味がわかりません。
わかる方、よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)については、ψ(x)が極値をもたなければいいと考えてa^2<3bがでてきたのですが、cについてもなにかでてこないとまずいのでしょうか・・・。
それで、正解です。cについては必要ありません。ただし、a^2<=3bですよね。
>(2)については、回答者さまのf(x)=x^2は、x=0のときf(0)=0で不動点を持つのではないかと思うのですが、
確かにそうですよね。範囲を間違えていました。でも、考え方は同じです。それでは、これはどうでしょうか。
f(x)=1/2*(x+1)^2-1
これだったら、連続写像であり、しかも与えられた範囲の中に不動点を持ちませんね。
No.3
- 回答日時:
>(1)については方針は間違っていなかったのですね。
ほっとしました。確かにそうですけど、その方針で何が分かったのですか?
a,b,c間に成り立つ条件を求めるのが、この問題で求められていることなのです。
>となると(2)はけっこう厄介かもしれないですね
このような感想を漏らすということ自体、不動点の意味を全く理解していないように見受けられます。たとえば、f(x)=x^2はどうですか。
この場合、当然、fは連続写像です。しかも与えられた範囲の中に不動点は存在しません。(3)についても明らかです。たとえば、ある一定のベクトルだけ平行移動した場合を考えれば十分でしょう。
この回答への補足
(1)については、グラフを考えたときにψ(x)が極値をもたなければいいと考えてa^2<3bがでてきたのですが、cについてもなにかでてこないとまずいのでしょうか・・・。
(2)については、回答者さまのf(x)=x^2は、x=0のときf(0)=0で不動点を持つのではないかと思うのですが、わたしの不動点の解釈が間違っているのでしょうか?申し訳ないですが、お願いします。
No.2
- 回答日時:
(2),(3)について。
たまたまこういう書き方をご存知なかっただけだと思います。実数全体の集合をRとしたとき、例えば、(1)はそこに書かれているように、実数の一点xから別の点ψ(x)への写像なので、
ψ:R→R(ψ(x)=x^3+ax^2+bx+c)
なんて書き方を時々します。(2)は、定義域が開区間I=(-1,1)で、値域もIである連続写像(関数)、
f:I→Iかつ連続
という意味に過ぎません。(3)は2次元平面から2次元平面への写像なので、まさに2×2の行列が例になります。
No.1
- 回答日時:
そうです。
質問者さんの思った通りで良いです。すると、(1)は明らかですね。p≠qのときψ(p)≠ψ(q)となるとき、a,b,cにはどんな関係が成り立つのでしょうか。逆にa,b,cにその関係がなりたつとき、p≠qのときψ(p)≠ψ(q)であることが示せるでしょうか。(2),(3)はコンパクトではありませんから明らかですね。不動点というのはx=f(x)となる点xです。fやψの具体例はたくさんあります。ご自分で考えてください。
この回答への補足
(1)については方針は間違っていなかったのですね。ほっとしました。ありがとうございました。
(2)(3)については、
連続な写像f:(-1,1)→(-1,1)
連続な写像ψ:R^2→R^2
自体が、なにを表現したいのかよくわかりません。不動点はわかるのですが・・・。よかったらいくつか具体例をあげて教えてくださると助かります。もちろん自分でも考えますが、たとえば行列をうつす写像を求めよ、などだったら理解できるのですが、この問題のように書かれていると意味がわかりません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
図の問題の|z|=1の写像を計算し...
-
複素解析についての質問です。 ...
-
画像の説明にある写像の表記T:k...
-
四次対称群S4が可解群であるこ...
-
線形独立テストsa+tb=0を行うと...
-
「十人十色」ならば「百人百色...
-
全射・部分写像の個数の問題
-
初めての複素関数の勉強
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
LaTeX 写像式を描きたい
-
代数学「素体」
-
k代数、環準同型 画像の例3に関...
-
体の『同型』と『○上同型』のち...
-
線形写像と線形変換
-
円→楕円への写像
-
線形写像と線形変換
-
同型とは?
-
リー代数 キリング形式のトレ...
-
複素数の関数
-
基本的な事ですが…(単射、全射...
おすすめ情報