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1=0.999・・・を証明する為に塾でやった証明方法はこうでした。

   x=0.999・・・
  10x=9.999・・・
 10xーx=9.999・・・ー0.999・・・
   9x=9
   x=1

然しどうも納得がいかなかったので、当時中2の僕は次の例を考えました。

   まず1=0.999・・・が成立つと仮定する。
 次に A1=0.9=9/10 と置く。
同様に A2=0.99=99/100
    A3=0.999=999/1000
     ・
     ・
     ・
  ∴ An=10^n-1/10^n      -(1)
このとき、(言わずもがなだが)nは9の個数を示す。
0.999・・・は9が∞個続くので、A∞と表すことが出来る。
つまり      A∞=0.999・・・
(1)にn=∞を代入してA∞=10^∞-1/10^∞ ー(2)
ここで、仮定より、A∞=1      ー(3)
     (2)(3)より 1=10^∞-1/10^∞
両辺に10^∞を掛けて10^∞=10^∞-1
10^∞を左辺に移項し0=-1 となり、明らかに矛盾を起こしてしまいます。

一体何処に矛盾があるのでしょうか?
それとも、そもそも公理が違うので違うのは当然なのでしょうか?
誰か教えてくださいませんか?
最後に長文すみません。

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矛盾 数学」に関するQ&A: 数学の矛盾

A 回答 (9件)

「計算の過程に矛盾はないはずなのに、


出てきた結果は明らかに矛盾だ」
との疑問でよろしいでしょうか。

式(1)を導くまでの計算にまちがったところはありません。
問題点はその先の行からあります。

問題点1
・「0.999・・・は9が∞個続くので、A∞と表すことが出来る。」
「A∞」という記号を導入することは、特に問題はありませんが、
「無限個続く」というのはいかなる意味なのか、正確な定義が
されていません。
もっともこの問題点はそれほど致命的なものではありません。
重大なまちがいは次にあります。

問題点2
・「∞」という数を、普通の数のように掛けたり割ったりしている。
無限は、人間の手の届かないところにあります。
数「無限」は、普通の数と同じように、四則演算が適用できるかは
証明されていません。そして、実際に、普通の数のようには使えません。
わかりやすい例を挙げると、以下のようになります。
「無限は無限と等しい。
∞=∞
無限に1を加えても無限である。
∞=∞+1
両辺から無限を引く。
0=1
同様にして、0=2、0=3...も証明できる。
これですべての数が等しいことが証明された」
もちろん、こんなことは起こりません。
問題点は「∞を、普通の数のように使って四則演算している」
ところにあります。
無限を「∞」と表現すると、ちゃんと存在する数のようですが、
数学においては「∞」は、「数」ではありません。
(少なくとも「普通の意味の」数ではありません)

数学でも、無限を扱う場合は多くありますが、
静的な数としては扱いません。決められた操作法に従って、
注意深く扱います。「∞」は危険物なのです。
これは大学の数学で、最初に習うところです。

さて、最初の
「1=0.999・・・となるかならないか」
という疑問についてですが、
一般的には「1=0.999・・・」となっています。
なぜかというと、通常使われる数学(特に「解析学」という分野)に
とっては、それで正しいし、
そのような大系を使った方が整合性がとれるからです。
「1≠0.999・・・」となる大系も構築可能です。
ただ、一般的な「解析学」ではあまり使えないと言うことです。

前述のように、無限の扱い方は大学の数学で学びます。
質問者さんがもし大学に入る前か、在学中なら、
一般教養でもいいから数学の単位を取ってみると面白いかもしれません。
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極限の操作を誤っているのが原因だと思います。


極限値同士を足したり引いたりかけたり割ったりする時は
細心の注意を払う必要があります。

> (1)にn=∞を代入してA∞=10^∞-1/10^∞ ー(2)
> ここで、仮定より、A∞=1      ー(3)
>      (2)(3)より 1=10^∞-1/10^∞
> 両辺に10^∞を掛けて10^∞=10^∞-1

引用部分3行目の、左辺の1はただの1ではありません。極限値の1です。
引用部分4行目で、両辺に10^∞をかけていますが、
(極限値の1) × 10^∞ = 10^∞になるとは限りません。
(極限値の1) × 10^∞ = (10^∞) + 7とすることもできますし、
(極限値の1) × 10^∞ = (10^∞) - 1とすることもできます。

n → ∞の時、数列An → α、数列Bn → βに収束するなら(αとβが有限確定値なら)
『n → ∞で、(An × Bn) → α × β』は成り立ちます。
しかしAnとBnが収束しない(有限確定値でない)場合、
『n → ∞で、(An × Bn) → α × β』は成り立つとは限りません。
数3の教科書や参考書にも書いてあると思います。

今回の例が成り立たない例だと考えられます。
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まず最初にANo.1さんのご意見の補足を。



質問者さんの式のカッコがないということですよね。
きちんと書くと、
An=(10^n-1)/10^n=10^n/10^n-1/10^n=1-1/10^n
というご指摘だと思います。

それはそうと本題ですが、
10^∞=10^∞-1
という式ですが、無限大というのは無限に大きいので有限の数を引いても無限大なわけです。ですから、10^∞も10^∞-1も同じように無限大であるので、10^∞を左辺に移項して消去するというところが矛盾の元になると思います。
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1=0.999999…を証明すればいいんですか?


1/3=0.333333…なので、その両辺を三倍すればokですよ。
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1=0.999・・・が成立つと仮定する。


この仮定が正しくないため最後に矛盾が起こったという証明でしょう。
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高校2年の♂です。



An=10^n-1/10^nはとAn = 1-1/10^nなるので、これのnを無限大に飛ばすと1/10^nは0に収束し、limAn=1となります。

またAn=0.99999・・・なので同様にnを無限大に飛ばすとlimAn=0.9999・・・で変化しません。

よって1=0.999・・・


極限はならったばっかりなので自信はないですがこんな感じでしょうか?

間違っていたらすいません

この回答への補足

確かにAn=10^n-1/10^n= 1-1/10^nならば
   A∞=1-1/10^∞になり極限を使えばA∞=1ですね。

成程、そういう式の変形の仕方があったんですね。
参考になりました。素晴しい回答でした。お見事。


でも、式の変形をせずにこのまま計算を進めても何ら問題を起こさないのは何ででしょうかね?
できれば返答お願いします。


余談ですが、自由研究にこの問題を使うつもりでした。

補足日時:2008/06/01 19:54
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 質問の答えではないですが、中学生の当時0.999・・・の循環数は1に限りなく近いが1ではないと教わりました。



1=0.99999999・・・(実生活編)証明

 レンタルビデオ店で1本ビデオを借りると、10枚で1本無料で借りられる補助券をくれるビデオ屋さんがあったとします。補助券でビデオを借りた際にも1枚補助券が付いてきます。つまり実質9枚で1本借りられる事になります。補助券1枚あたり価値は1÷9で0.111・・・です。それが9枚あるから9枚の価値は0.999・・・になります。0.999・・・で1本のビデオを借りれるので1=0・999・・・が成り立つのです。

1/9=0.999・・・ 0.111・・・×9=0.999・・・ 1/9×9=1
を文章にしてみただけですが。
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無限大は、高校以上の数学でないとあつかえませんよ。

この回答への補足

スミマセン。説明が抜けてました。
今は高校生です。

補足日時:2008/06/01 18:43
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  ∴ An=10^n-1/10^n      -(1)


これはおかしくありませんか?
An = 1-1/10^n
では?

この回答への補足

もし、 An = 1-1/10^nなら
   A1=1-1/10^1=0/10となりおかしいと思います。

出来れば詳しく解説をお願い出来ますでしょうか(此方の説明が拙かったかもしれないので)

補足日時:2008/06/01 18:44
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この回答へのお礼

すいません。1-1/10^nを(1-1)/10^nと勘違いしてました。

有難うございました。やはりこの考え方なら矛盾しませんね。

お礼日時:2008/06/01 19:34

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