ニュートンの冷却法則についての質問ですが、

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質問者：111111117
質問日時：2008/07/24 16:43
回答数：2件

ニュートンの冷却法則についての質問ですが、
－dθ/dx=hθのように、
左辺にマイナスが付く場合がたまにありますが、どういった理由ですか？
フーリエの法則にマイナスがつく理由はわかります。

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No.2ベストアンサー

回答者： inara1
回答日時：2008/07/26 07:55

ニュートンの冷却則は、ある温度の固体が、別の温度の流体で冷却（加熱）されるときの熱流量を表わすというのは理解されていると思います。

その場合 θ は流体の温度差の意味で、流体と固体の界面での流体温度を θs、無限遠方での流体温度を θa としたとき、θ = θs - θa で定義されているものです。したがって、固体が流体によって冷却されているときは θs > θa なので θ > 0 、加熱されているときは θs < θa なので θ < 0 になります。いずれの場合も、熱は高温側から低温側に流れるのですが、熱の流れる方向の座標の取り方によって、熱流量は正にも負にもなります。

例えば、以下のように、固体表面の位置を x = 0 とし、x > 0 の側に固体があるとします。
　　　　温度　　　　　　　　　　温度
　　　　 θ↑　　　　　　　　　　　 ↑
　　　／｜￣￣￣　　　　 ──┼───→ x
　／　　← Q　　　　　　　＼　Q →
　 ──┼───→ x　　　＼θ｜＿＿＿
　流体　　　固体　　　　　流体｜　固体

　　（１）冷却時（θ > 0）　　　（２）加熱時（θ < 0）

縦軸に温度差をとれば、冷却時はθ > 0、加熱時はθ < 0 となりますが、このとき熱の移動方向は、（１）のときは x < 0 の方向なので Q < 0、（２）のときは x > 0 の方向なので Q > 0 となります。したがって、この場合のニュートンの冷却則は
　　　Q = -h*A*θ
となります（Aは断面積 m^2）。一方、x軸のとりかたを逆にすると、以下のようになります。

　　　　　温度　　　　　　　　　　温度
　　　　　 θ↑　　　　　　　　　　　　↑
　　　　／｜￣￣￣　　x ←──┼───
　　／　　← Q　　　　　　　＼　Q →
　x ←──┼───　　　　　＼θ｜＿＿＿
　　　流体　　　固体　　　　流体　｜　固体

　　（１）冷却時（θ > 0）　　　（２）加熱時（θ < 0）

この場合、座標を反転させても温度差の符号は変わらず、冷却時はθ > 0、加熱時はθ < 0 のままですが、このとき熱の移動方向は、（１）のときは x > 0 の方向なので Q > 0、（２）のときは x < 0 の方向なので Q < 0 と逆になります。したがって、この場合のニュートンの冷却則は
　　　Q = h*A*θ
となって符号が反転します。

フーリエの法則は Q = -k*A*dθ/dx と、いつも - がついていますが、これは以下のように、x 軸の取り方を変えても、常に dθ/dx の符号と Q の符号は反対になっているからです。

　温度　　　　　　　　　　温度
　　↑　　　　／　　　　　　↑＼
　　｜　　／dθ/dx > 0　　│　　＼　dθ/dx < 0
　　｜／　← Q < 0　　　│　　　　＼ → Q > 0
　　├────→ x　　 ├────→ x

　　　　　　　　　　温度　　　　　　　　　　温度
　　　dθ/dx < 0／↑　　dθ/dx > 0＼　　　　↑
　　　　　　／　　 │　　　　　　　　　　＼　　｜
　　　　／← Q > 0　　　　　　 → Q < 0　＼｜
　　x ←────┤　　　　x ←────┤

ニュートンの冷却則は、無限遠方にある流体温度 θa を基準として、流体と固体の界面の温度 θs を考えているので、θ = θs - θa は座標の取り方に依りませんが（冷却時は正、加熱時は負）、熱の移動方向は座標のとり方で変わるので、- がついたりつかなかったりするわけです。

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No.1

回答者： k_yuu01
回答日時：2008/07/25 00:08

dx/dtといったら「単位時間当たりの、単位長さの変化」

と読めますね（ここは大丈夫でしょうか）
この「～の変化」に－（マイナス）をかけることで
「単位時間当たりの、単位長さの減り具合」といった意味になります
裏を返せば、＋だと
「単位時間当たりの、単位長さの増え具合」といった意味です

例えば、放射性元素の、まだ崩壊していない原子核数を求める際は、
「微小時間dtの間に崩壊する核の数dNは、元々の数Nと比例する」と仮定すると-dN/dt=λNと表され、この微分方程式を解くことである時刻の残存原子核数を求めることが出来ます。（λは比例定数）

つまり、ある変化に対してなにかが増えるようなら＋、減るようなら－をつけるということです

ニュートンの冷却法則の場合、「温度θが、単位時間当たりに減る具合は温度θに比例する」なので－dθ/dt=hθとなります

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y[2]-y[1]　　　(2)
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y[3]-y[2]　　　(3)
y[4]-y[3]　　　(4)
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mag44tedさんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
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となります。

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{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
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y[5]-y[2]　　　(7)
y[4]-y[1]　　　(8)
y[3]-y[0]　　　(9)
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y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
　─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
　　　　　　┗━━━━━┛→(7)
　　　　┗━━━━━┛→(8)
　　┗━━━━━┛→(9)

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Aベストアンサー

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。
Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ～78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ～ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね？
ご質問のワークの体積と表面積から円柱の直径 R と長さ L を計算すると、以下の2通りの場合がありますが、(1) のほうですね。(2) だと円板になりますので。
　　　(1)　R = 0.0367 [m]、L = 0.242 [m]
　　　(2)　R = 0.116 [m]、L = 0.0242 [m]

【円柱外部を冷却するときのNu数】
円柱を強制空冷する場合、空気を円柱軸に沿って流す場合と円柱側面に冷気を当てる場合では Nu（ヌセルト数）が異なりますが、普通は円柱側面に冷気を当てると思いますので、その場合の実験式は次のようになります。
　　　Nu = C*Re^n*Pr^(1/3) --- (1)
Re はレイノルズ数、Pr はプラントル数で
　　　Re = u*R/ν --- (2)
です。u [m/s] は冷気の流速、R [m] は円柱の直径、ν [m^2/s] は冷気の動粘性係数です。Pr と ν の値は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度での値を使います。Pr と ν の温度依存は[1] で計算できます。

【Nu数の実験式】
C と n は定数で、Re の値によって以下のような値をとります [2]。
　　　　　Re　　　　　　　　　C　　　 n
　　　40～4000　　　　　0.683　0.466
　　　4000～40000　　 0.193　0.618
　　　40000～400000　0.0266　0.806
冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃～80℃の範囲にあるとき、[1] を使って動粘性係数 νを計算すると、3.3×10^(-6) ～ 9.5×10^(-6) [m^2/s] なので、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合のレイノルズ数は、式(2)で計算すると Re = 9703（20℃）～27500（80℃）の範囲になります。したがって、C と n の値は C = 0.193、n = 0.618 を使えばいいことになります。Re = 9703～27500 に対する Nu は、式(1)で計算すると 50～95 の範囲になります。

【熱伝達率とNu数の関係】
一方、Nu と熱伝達率 h [W/m^2/K] との関係は、円柱の場合
　　　Nu = h*R/kf
で表わされます。kf は冷媒（空気）の熱伝導率 [W/m/K] です（円柱の熱伝導率と区別するために f をつけます）。空気の熱伝導率の温度依存は [3] で計算すると、冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃～80℃の範囲にあるとき、kf = 0.026 ～ 0.030 W/m/K の範囲になります。したがって、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合の熱伝達率 h は
　　　h = Nu*kf/R = 35 ～78 [W/m^2/K] --- (3)
となります。これは質問文にある空気の熱伝達率の範囲に入っています。

【熱伝達率と円柱温度の関係】
考えている円柱は細長いので、内部の温度分布は一様とみなせます [4]。その場合、円柱が一定の熱伝達率で冷却されたときの円柱温度 T [℃] の時間変化は次式で表わされます。
　　　T = Tc *( T0 - Tc )*exp{ -h*A*t/( ρ*cp*V ) } --- (4)
で表わされます。Tc は冷気温度 [℃]、T0 は円柱の初期温度 [℃]、S は冷却面積（円柱側面の表面積） [m^2] 、t は時間 [sec]、ρは円柱の密度 [kg/m^3]、cp は円柱の比熱 [J/kg/K] です。したがって、 Tc = 17 ℃、T0 = 80 ℃、S = 0.03 m^2、ρ = 7874 kg/m^3、cp = 461 J/kg/K 、V = 0.256×10^(-3) [m^3] のとき、冷気にさらされてから 20sec 後の円柱温度 T20 は以下のようになります。
　　　T20 = 76.9 ～ 78.6 [℃] --- (5)
これは ANo.1 での概算計算結果
　　　Tout = 75.9 [℃]
とほぼ同じです（やはり意外に冷えません）。

この計算はクーラのダクトから17℃の冷気が複数の円柱にまんべんなく当たっている場合ですので、ワークの配列によっては結果が違ってきます（これより冷えることはありませんが）。クーラの冷却能力を倍にした場合は、風速を倍の 5 [m/s] にすればいいはずです。式(4)で冷却時間をもっと長くしてみればどれくらいまで冷えるか計算できますが、ワークが冷やされてくると冷気との温度差がなくなっていくので、熱伝達率が一定でも、単位時間に奪われる熱量が減ってくるので、だんだん温度の下がり方が鈍くなります（式(5)で時間を変えて計算してみると分かります）。

空気の動粘性係数 ν や熱伝導率 kf、それらから計算される Re数やPr数、Nu数は、厳密には円柱温度と冷気温度の平均値での値を使わなければなりません。具体的な計算手順は、最初に、円柱温度を75℃くらいと仮定して、その温度と冷気温度の平均の46℃での物性値を使って計算し、出てきた円柱温度と冷気温度の平均温度を使って空気の物性値を補正し、また円柱温度を計算するということを繰り返せば、最終的な円柱温度が出てきます。しかし、式(5)の温度範囲は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度が 20℃～80℃とした場合の値なので、最終的な円柱温度の値は式(5)の範囲に入っているはずです。

【補足】
[1]　1気圧の空気の Pr 数はと動粘性係数 ν は、室温付近では次式で近似されます。
　　　　　　Pr = 0.713 - 0.0002*t
　　　　　　ν = 1.296×10^(-6) + 1.02×10^(-7)*t
　　　t は空気の温度 [℃] です。
[2]　谷下市松「伝熱工学」裳華房（1986）p.142.
[3]　1気圧の空気の熱伝導率 kf [W/m/K] は、室温付近では次式で近似されます。
　　　　　　kf =0.0243+0.0000741*t
　　　t は空気の温度 [℃] です。
[4]　円柱の体積を V [m^3]、冷却面積（側面）を A [m^2]、円柱の熱伝導率を k [W/m/K]、熱伝達率を h [W/m^2/K] としたとき
　　　h*V/( k*A ) < 0.1
を満たせば内部の温度分布は一様とみなせます。炭素鋼（S53C）の熱伝導率の値はWebでは見つかりませんでしたが、資料 [2] に出ている炭素鋼の値は 54 W/m/K（ 0.5C以下）～36 W/m/K（1.5C）なので、45 [W/m/K] くらいとすれば、この場合、Nu = 50～95、V = 0.256×10^(-3) [m^3]、A = 0.03 [m^2] なので、h*V/( k*A ) = 0.0095～0.016 < 0.1 となって条件を見たします。谷下市松「伝熱工学」裳華房（1986）p.83.

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問1
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（1）微分方程式を立てる。温度T（℃）、時間をtとする。
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（3）初期条件から定数を...続きを読む

Aベストアンサー

問１
冷却速度ｄＴ／ｄｔが外気温との温度差に比例するので
ｄＴ／ｄｔ＝ｋ（Ｔ－２０）
変数分離して
（１／Ｋ（Ｔ－２０））ｄＴ＝ｄｔ
積分して
ｌｏｇ（Ｔ－２０）／ｋ＋Ｃ＝ｔ　（Ｃは積分定数、ｌｏｇは自然対数）
ｌｏｇ（Ｔ－２０）＝ｋｔ＋Ｃ’　（Ｃ’＝－ｋＣ）
ｔ＝０のときＴ＝９０なので
ｌｏｇ７０＝＋Ｃ’　・・・（１）
ｔ＝１０のときＴ＝６０なので
ｌｏｇ４０＝１０ｋ＋Ｃ’・・・（２）
（１）と（２）を連立させればｋとＣ’が求められます。こうして導いた式にｔ＝２０、３０を代入すれば２０分後、３０分後の温度も計算できます。

問２
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ーｄＮ（ｔ）／ｄｔ＝λ・Ｎ（ｔ）
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としてやると係数、積分定数が判ります。ここまでできたら（３）はｔ＝１７００を代入するだけです。

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Aベストアンサー

言われてみると「なあんだ」ということになるかと思います。
あと一つ確認なのですが、a～fはたわみの読みそのものなのかその差分なのか質問文ではっきりしません。もし直接の読みだとすると、a～fを足して5で割って得られた数字には物理的な意味がないことになります。直接の読みでなく差分であればd-a, e-b, f-cを作って平均するとほとんどゼロになってしまいます。念のためご確認下さい。

以下は本サイトで、以前に私が類似の質問に答えた内容を再編集したものです。

さておもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、一つ乗せたときのそれをy[1]、以下n個乗せたときのそれをy[n]とします。

最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]　　　(1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]　　　(2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]　　　(3)
y[4]-y[3]　　　(4)
となります。
sumosb004さんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]　　　(5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られましたので、これを平均してみましょう。(1)～(5)を足して5で割ればよさそうなのですが・・・
{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
={y[5]-y[0]}÷5　　　(6)
となって、実際に活用されているデータはy[5]とy[0]だけ、すなわち2点だけで平均を取っていることになってしまいます。y[1]～y[4]はせっかくデータを取ったのに計算に入ってきていません。

これは差分データを取って最後に平均するときにしばしば遭遇する落とし穴です。
ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]～y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]～y[3])と下半分(y[2]～y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]　　　(7)
y[4]-y[1]　　　(8)
y[3]-y[0]　　　(9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当し、sumosb004さんのおっしゃるd-a, e-b, f-cに(おそらく)対応します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
　　　　　┗━━━━━┛→(7)
　　　┗━━━━━┛→(8)
　┗━━━━━┛→(9)

(7)～(9)を足して平均をします。この平均は
(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3　　　(10)
ですから、(6)のように差し引きで消えてしまうことはありません。ただし(10)はおもり3個分に対する歪みの増分ですから、おもり1個分に換算するにはさらに3で割って下さい。

あとは計算式に当てはめればヤング率を求めることができます。
またNo.1で「線形性からのずれ」の指摘がありますが、上記の説明を読めばそれはせいぜい副次的な問題でしかないこともお分かりかと思います。

参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL：http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

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Aベストアンサー

★回答
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・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
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・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

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そのときに、ヤング率が大きいと、たわみの量が少なくなりますよね？

そこで、質問なんですけど、ヤング率の値が変化する原因を教えてください。

金属の疲労が原因なのかなぁ～？？って調べているんですがなかなか見つからないので、よろしくお願いします

Aベストアンサー

＞そこで、質問なんですけど、ヤング率の値が変化する原因を教えてください。

どういう状況で変化するのか教えてくれると、回答がつくと思います。
今思いつくのは、塑性化が発生していることの他は（弾性範囲では）、以下のような物です。

一般に
応力＝ヤング係数×ひずみ
応力＝荷重／断面積
から、
荷重＝ヤング係数×ひずみ×断面積
です。

一般に断面保持の仮定（断面は一定）の下で解析しますのですが、加力を続けていくと断面の減少などが起こり、断面積が変化します。
実験などでの計測ではロードセルなどで荷重を、ひずみゲージによりひずみを測定して、断面積一定の仮定からヤング係数を算出します。
つまり、断面が一定の仮定が成り立たないと、見かけ上ヤング係数が変化するような結果が得られることがあります。

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか？
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか？

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン（自由電子が引っこ抜かれた残りの原子）の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます（進路を乱されます）。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

＞＞＞半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

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Q境膜について

温度境膜について、
厚ければ温度が伝わり難かったり、
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などと言う話を聞いたのですが、
結局どういう概念なのですか？

Aベストアンサー

　流体の壁面に極近い部分で、熱伝達が遅い箇所です。
　壁では金属の熱伝導が有って結構速く、液体部分では対流で伝達しますが、壁面の極近い所では液体が動かないので液体の熱伝導しか無く、従って熱の伝わり方が遅いのです。　つまり、液体部分の熱伝達抵抗部分を境膜と言います。
　液の流れが速いと液体が動かない部分が薄くなるので、熱伝達の抵抗部分として想定した境膜も薄くなります。　熱めのお風呂に入って、そおっと入っていると我慢できるのに、お湯をかき混ぜると熱く感じるのはこれです。
　境膜はレイノルズ数で結構変化します。特に層流と乱流では大きく変ります。

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