一次要素(1/(s+a)のn次の逆ラプラス変換

皆さんよろしくお願いいたします。
複素数s、正の自然数n、実数aで構成される次の式の逆ラプラス変換を解こうとしています。

(a^n)/(s(s+a)^n)

n次というのが壁となっていて解くことが出来ません。どなたか
ご存知の方いらっしゃいましたらご教示いただきたく
お願いいたします。

一つは部分分数展開する方法があると思いますが、X_nをs,n,Tで表わされるものとして
(a^n)/(s(s+a)^n)=X_1/s+X_2/(s+a)+X_3/(s+a)^2+・・・+X_(n+1)/(s+a)^n
としましたが、X_nをどう解いたらよいかわからず断念。
二つ目は留数定理を用いてf(t)=L^(-1)[a^n/(s(s+a)^n)]とおくと

Res[e^(st) F(s),0]
=(1/(1-1)!)lim{s→0}(d^(1-1)/ds^(1-1))[(s-0)](a^n)/(s(s+a)^n)e^(st)=1
Res[e^(st) F(s),-a]
=(1/(n-1)!)lim{s→-a}(d^(n-1)/ds^(n-1))[(s+a)^n](a^n)/(s(s+a)^n)e^(st)
=(a^n/(n-1)!)lim{s→-a}(d^(n-1)/ds^(n-1))(e^(st))/s
となりやはり(d^(n-1)/ds^(n-1))(e^(st))/sの項がネックとなり断念しました。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/07/26 02:35

> 一つは部分分数展開する方法があると思いますが、X_nをs,n,Tで表わされるものとして

> (a^n)/(s(s+a)^n)=X_1/s+X_2/(s+a)+X_3/(s+a)^2+・・・+X_(n+1)/(s+a)^n
としましたが、X_nをどう解いたらよいかわからず断念。
順にn=1,2,3,4, ... と計算することで
(a^n)/(s(s+a)^n)
=1/s -Σ[k=1,n] {a^(k-1)}/(s+a)^k
と出てきます。
従って逆変換f(t)は
f(t)=1-e^(-at)Σ[k=1,n] {(at)^(k-1)}/(k-1)!
となりますね。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
info22さんには、いつもお世話になっております。
mximaで、n=1,2,3のときを確認したら、
(a^n)/(s(s+a)^n)=1/s -Σ[k=1,n] {a^(k-1)}/(s+a)^k
であることが理解できました。ありがとうございます。
ラプラス逆変換もL^(-1)[1/(s+a)^n]＝(t^(n-1))*(e^(-at))/(n-1)!
を利用してf(t)を求めf(t)=1-e^(-at)Σ[k=1,n] {(at)^(k-1)}/(k-1)!
となることが分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2008/07/27 23:58

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/26 04:35

見間違えたので＃1は削除

a^n/(s^n・(s+a)^n)
と見てしまった
この逆変換は非常に難しい
問題の変換は既に出ているがたやすいので自分れやったほうがいい

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/25 23:28

1/s^n

の逆変換
と
1/(s+a)^n
の逆変換
を畳み込め