数学

x>0,y>0で、x＋y=20のとき、logx×logy（底１０）の最大値を求めよ。
どなたかやりかたを教えてください。
y=20-xにすればいいのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/02 22:37

簡単そうに見えて、それ程簡単ではない。

x＞0、y＞0より相加平均・相乗平均から、x＋y≧2√（xy）、等号はx＝yの時。したがつて、x＋y＝20から　10≧√（xy）であるから、xy≦10＾2　。　つまり、logx＋logy≦2　‥‥(1)
次に、条件x＋y＝20よりグラフを書くとわかるが、x-1＜0、y-1＜0が同時に成立する事はない。
又、（x-1）*（y-1）＜0の時は、logx*logy＜0となる。
従って、x-1＞0、y-1＞0　、つまりlogx＞0、logy＞0の場合について考えると、この時にlogx*logyの最大値としてある正数が存在すると、それが求めるものである。
相加平均・相乗平均から、logx＋logy≧2√（logx*logy）（等号は、logx＝logyの時）‥‥(2)
(1)と(2)より、2≧logx＋logy≧2√（logx*logy）であるから、logx*logy≦1.　（x＝y＝10の時）

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/09/02 22:25

> y=20-xにすればいいのですか？

それでも結構です。
f(x)={log_10(x)}{log_10(20-x)}
=[{log_10(e)}^2]{log_e(x)}{log_e(20-x)}
=K{log_e(x)}{log_e(20-x)}, 0<x<20, K={log_10(e)}^2
として
普通に微分して増減表を増減表を作れば
x=10の時最大になることが分かります。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/09/02 22:13

>y=20-xにすればいいのですか？

そう

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2008/09/02 20:53

これはｘｙの最大値を求めよというのと同じです。

直線の距離とｘｙ＝ｋという双曲線のグラフを第一象限だけで描き、ｋを変えるとグラフがどう動くかを観察して下さい。双曲線と直線が交わる状態でのｋの最大値が回答になります。それのｌｏｇを取ればいいわけですからね。