確率 着席問題

■■■←1列目
■■■←2列目
■■■←3列目
と9個の席があり男女3人づつの計6人が着席します
座り方は全部で9P6=9*8*7*6*5*4=60480 通り
これはいいんですが

各列に少なくとも一人着席する確率を求める際、本来なら
「1列に誰も座らない確率」を求め余事象が早いんでしょうが
直接求める際にこう↓考えるとどうもうまくいきません

1列目に座る人を6人の中から一人選び、座る席を1列目の3席から1つ選ぶ
2列目に座る人を残り5人の中から一人選び、座る席を2列目の3席から1つ選ぶ
3列目に座る人を残り4人の中から一人選び、座る席を3列目の3席から1つ選ぶ
最後に残った6席の中から3席を選び、3人を座らせる(6P3=6C3*3!)
これを式にすると

6C1*3C1*5C1*3C1*4C1*3C1*6C3*3!/9P6=9*8*7*6*5*4　となり
1を超えてしまいます
どこかで重複して考えてしまっていると思うのですが、それがどこだか分かりません
どなたかご指摘お願いします

No.5 回答者： hiro001001 回答日時： 2008/09/17 12:41

No.1です。

ついでなのでもう一つ。

この問題は、6人がどこに座るかは関係なく、座る場所さえ決めればよいので、順列(P)を使う必要はなく、組み合わせだけで解けます。

No.4の回答に書いたとおり、

各列に3人・2人・1人と座るパターン（パターン1～6）の座席の組み合わせは (3C3*3C2*3C1)*6 通り
各列に2人ずつ座るパターン(パターン7)の座席の組み合わせは 3C2*3C2*3C2 通り

で、全ての座席から6つの席を選び出す組み合わせは 9C6 通りなので、

((3C3*3C2*3C1)*6 + (3C2*3C2*3C2)) / 9C6
= (9*6 + 27) / 84
= 27/28

この回答へのお礼

なるほど！
結局座席に座る人を区別しても
((3C3*3C2*3C1)*6 + (3C2*3C2*3C2)) / 9C6
の分母分子に同じものが出てきますね

コンビネーションから必要がある場合はその並び(順列)を考える
こういう考え方好きですｗ

重ね重ねありがとうございました

お礼日時：2008/09/18 21:58

No.4 回答者： hiro001001 回答日時： 2008/09/16 11:19

No.1です。

あえて余事象を使わずに解くとすれば以下のような感じでしょうか。

各列に少なくとも一人着席する座席パターンは以下の7通り。

(パターン1)
　1列目 3席
　2列目 2席
　3列目 1席
(パターン2)
　1列目 3席
　2列目 1席
　3列目 2席
(パターン3)
　1列目 1席
　2列目 3席
　3列目 2席
(パターン4)
　1列目 2席
　2列目 3席
　3列目 1席
(パターン5)
　1列目 1席
　2列目 2席
　3列目 3席
(パターン6)
　1列目 2席
　2列目 1席
　3列目 3席
(パターン7)
　1列目 2席
　2列目 2席
　3列目 2席

パターン1～6の座席の組み合わせはそれぞれ 3C3*3C2*3C1 = 9
パターン7の座席の組み合わせは 3C2*3C2*3C2= 27

それぞれパターンについて、6人の座らせ方は 6P6 通り
以上より

(9*6 + 27) * 6P6 / 9P6 = 27/28

この回答へのお礼

さらなる回答ありがとうございます
なるほど、1列目2列目3列目に6人の人を振り分けていくとも考えられますね

一人は必ず座らなければならないので
パターンとしては
(1)3人座る列が1つ
(2)2人座る列が1つ
(3)1人座る列が1つ
(4)どの列も2人ずつ

(1)～(3)は、3人が座る列の選び方、2人が座る列の選び方、残りの列に1人だから
3C1*2C1＝6通り(＝パターン1～6)
(4)は、どの列も2人だから1通り（＝パターン7）

そして、それぞれのパターンについて座席の組み合わせを考えればよいと

お見事です。大変参考になりました。

お礼日時：2008/09/16 21:09

No.3 回答者： yasuhiga 回答日時： 2008/09/15 17:44

No.2です。

昨夜は寝ましたが、
1-{(6P6/9P6)+(6P6/9P6)+(6P6/9P6)}＝27/28
のほうでいいと思います。
矛盾してたんで、おかしいなと思ってました。失礼。

この回答へのお礼

いえいえ、回答ありがとうございます

お礼日時：2008/09/15 20:32

No.2 回答者： yasuhiga 回答日時： 2008/09/14 23:56

余り２席に座らせる必要がないのです。

最後に座らせるのですから。
そこでかぶっているのではないでしょうか。

1列目に座る人を6人の中から一人選び、6C1=6
2列目に座る人を残り5人の中から一人選び、5C1=6
3列目に座る人を残り4人の中から一人選び、4C1=4
最後に残った6席の中から3席を選び、3人を座らせる(6P3=6*5*4)
6*5*4*6*5*4/9P6=6*5*4*6*5*4/(9*8*7*6*5*4)
=6*5*4/(9*8*7)=120/504=5/21
だと思います。

如何でしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
しかし、人・席はやはり全て区別しなければ誤りではないでしょうか？
正解自体は

1列目に誰も座らない確率
＝(残り2列の6席に6人を座らせる並べ方)/(全事象)
＝6P6/9P6

2列目、3列目が空席となる場合も同様に6P6/9P6
よって各列に少なくとも一人着席する確率は余事象より

1-{(6P6/9P6)+(6P6/9P6)+(6P6/9P6)}＝27/28
となると思います

お礼日時：2008/09/15 16:32

No.1 ベストアンサー 回答者： hiro001001 回答日時： 2008/09/14 23:03

以下のように座席に番号をつけます

　[1][2][3]
　[4][5][6]
　[7][8][9]

６人を ABCDEF として、質問者さんの書いた考え方に沿って配置すると

　1列目に座る人＝A、座る席＝[1]
　2列目に座る人＝B、座る席＝[4]
　3列目に座る人＝C、座る席＝[7]
　残った6席の中から3席 [2],[5],[8] に
　残った3人 D E F を座らせる

という場合と、

　1列目に座る人＝D、座る席＝[2]
　2列目に座る人＝E、座る席＝[5]
　3列目に座る人＝F、座る席＝[8]
　残った6席の中から3席 [1],[4],[7] に
　残った3人 A B C を座らせる

という場合は、いずれも

　[A][D][ ]
　[B][E][ ]
　[C][F][ ]

であり、重複しています。

この回答へのお礼

目から鱗とはこのことです！
こんなにすぐに反例を出せるところが凄いです

僕の場合、こうだと考えてしまうと抜け出せないし
反例を見つけるのが下手すぎるんですよね
その点回答者さんはさすがです！

お礼日時：2008/09/14 23:14