対角化の応用：標準形について

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質問者：kawaisoo
質問日時：2008/10/29 18:26
回答数：2件

対角化の応用：標準形についてです。
aX＾2 +bXY+cY＾2 =αX’＾2+ βY’＾2

対角化行列は
α０
０β
であるが、固有値がどっちがαか、どっちが βか、どう決めるか？

例：６X＾2 －４XY+９Y＾2の標準形を求めよう。
固有値は５と１０なので、
固有ベクトルは
５　　０
０　１０
にしたんだ。

かえって、教科書の答えは
１０　０
　０　５
なぜなのですか？
５X’＾2+ １０Y’＾2じゃなくて、
１０X’＾2+ ５Y’＾2が答えです。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： jamf0421
回答日時：2008/10/30 19:06

数学はまったく素人ですが苦手とした者として、理解に苦労する人に同情し、一応コメントします。

>固有値は５と１０なので、固有ベクトルは
>５　　０
>０　１０
>にしたんだ。
は誤りで、質問者さんが書かれたものは対角化した行列です。固有ベクトルは(1/√5, -2/√5), (2/√5,1/√5)になります。（±の自由度はありますが）これを並べた行列、および並べ方を転置した行列（直交行列はこれは逆行列になります。）でもとの対称行列を挟んで対角化しますが、並べ順は自由です。
1/√5 2/√5
-2/√5 1/√5
とその転置行列で対角化すれば左上が10になり右下が5になります。
順序を変えて
2/√5 1/√5
1／√5 -2/√5
とその転置行列で挟めば左上が5、右下が10になります。

楕円の方程式を長軸と短軸がx軸、y軸になるようにせよ、と言われたとき、長軸をx軸にしても、短軸をx軸にしてもよいようなものです。
あまり本質を捉えていない説明かも知れませんがご参考まで。