今、高校の課題研究で「Σの公式」について研究をしています。公式らしきものは作れたのですが、その公式の証明ができなくて困っています。目のつけどころだけでもいいので証明の仕方を教えてくれないでしょうか。公式を証明するのは学校で習うような簡単なもの以外では初めてです。公式はこのようなものです。
※これから出てくるΣは全てk=1からnまでの時とします。
【例】Σ(k^4)の公式を求める時
Σ(k^3) = 1/4n^4 + 1/2n^3 + 1/4n^2 を用いる
(少し変わった変形?ですが左辺のΣを取り払います)
k^3 = 1/4n^4 + 1/2n^3 + 1/4n^2
両辺を不定積分する(積分定数は0)
1/4k^4 = 1/20n^5 + 1/8n^4 + 1/12n^3
k^4 = 1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3
右辺の係数の合計が1となるようにnを加える
すなわちこの場合、1/5+1/2+1/3=31/30なので-1/30nを加える
k^4 = 1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3 - 1/30n
(左辺にΣを再びつける)
Σ(k^4) = 1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3 - 1/30n
これで完成!
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
なんだか言いっ放しになったので、式変形を書いておきます。
n^m = P_m(n) - P_m(n-1) の両辺は、m+1 次以下の多項式であって、
かつ、m+2 個よりも多い n の値 n = 2, 3, 4, … で一致することから、
多項式として一致する。すなわち、任意の実数 x に対して、
x^m = P_m(x) - P_m(x-1) が成り立つ。…(*)
この式を ∫[x=0…k] ~ dx すると、
k^(m+1) / (m+1)
= ∫[x=0…k] P_m(x) dx - ∫[x=0…k] P_m(x-1) dx
= ∫[x=0…k] P_m(x) dx - ∫[x=-1…k-1] P_m(y) dy
= ∫[x=k-1…k] P_m(x) dx - C ただし C = ∫[x=-1…0] P_m(x) dx.
この式を Σ[k=1…n] すると、
{ Σ[k=1…n] k^(m+1) } / (m+1) = ∫[x=0…k] P_m(x) dx - n C.
よって、
P_{m+1}(n) = (m+1) ∫[x=0…k] P_m(x) dx + { -(m+1)C } n.
ここで、P_{m+1}(1) = 1 が成立するように C の値を決めればよい。
話のキモである(*)を導くのに、P_m( ) が多項式であることを使いました。
(m+1 次以下であることは重要でありませんが) 多項式であることを示すには、
No.1 さんの言うとおり、帰納法によるしかないような気がします。
上記の計算が、帰納法の帰納ステップとして使えます。
No.6
- 回答日時:
だけど,こんな綺麗な関係があったんですね.
不覚にも僕は知りませんでした.
確かに階差で微分したり積分したりすると出てくるけど・・.
よく知られていることで,僕が知らなかっただけなのかしら?
賢い人は習ったときに自分で見つけているかも知れませんね.
こんど塾で教えるときに使えそうで,どうも有難うございます.
No.5
- 回答日時:
←No.3 そうですね。
定数項で補正してはいけない理由は、P_m(0) = 0 で説明できるけれど、
二次以上でなくて一次項で補正する理由は、積分定数の在処からしか
出てこない。式形をちゃんと追わないとね。おっしゃる通りです。
No.4
- 回答日時:
せめて、= が成り立つようにしましょう。
・左辺のΣはつけたままでいいんじゃないですか?
括弧の中だけを変形すればいいんです。
係数はΣの外に出せるので問題ないでしょう。
・途中の不定積分で、積分定数を0と置くから、おかしくなるので、
積分定数はつけておいて、最後に積分定数= -1/30n とする。
もしくは、左辺のΣの中に積分定数を入れておいて、
Σを展開したら、 1/30n になった でもいいかな~。
両方に有っても問題ないですよね。
そうすれば、辻褄はあいますよね。
No.3
- 回答日時:
ちょいと待ってください>#2.
最後に「1次項で補正する」ことの根拠が弱くありませんか? つまり, 「なぜそこで定数項や 2次項などではなく 1次項を使うのか」ということについては, ここではどこにも根拠がありませんよね.
そこをきちんと説明しようとすると, 質問者のような「でたらめ」な方法ではなく, #2 であるようにきちんと積分したりする必要があるはずです.
No.2
- 回答日時:
ヒント:
Σ[k=1,…,n] k^m は、n の m+1 次多項式です。これを P_m(n) と置きます。
P_m(n) - P_m(n-1) = n^m は、任意の自然数 n について成り立ちます。
この式の両辺は、m+1 個よりも多い点で一致する m 次多項式ですから、
多項式として等しい。つまり、任意の実数 x について P_m(x) - P_m(x-1) = x^m
が言えます。ここから、積分する操作が正当化できますね。
係数の合計が 1 になるように一次項を加える操作は、
任意の m について P_m(1) = 1 であることから説明できます。
やってみて下さい。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 方程式の証明 5 2022/05/12 09:29
- 数学 乗法公式の問題についてです。 (x-y)(2x+y)??? 2 2022/10/18 19:50
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 数学 数学 式を書く際 ・(掛ける)を省略する時としない時の違いがいまいちわかりません 例えば内積計算の公 3 2023/08/12 16:15
- 数学 数学 『等式の証明』 a+b=2の時 写真の一番上の等式が成り立つことを証明せよ 解法合ってますかね 3 2023/03/31 22:37
- 物理学 大学物理 3 2023/07/27 17:48
- 数学 微分積分を理解できない人って脳の作りの問題でしょうか。情報系の大学に進み、微分積分が必須科目なんです 5 2022/07/14 08:40
- 大学・短大 東大数学についての質問です。公式の証明をわかってないと解けない問題は出題されますか? もちろん、公式 3 2023/04/10 03:34
- 数学 数学(積分) 面積公式について。「1/12公式」 二次関数(放物線)2本と接線一本のパターン におい 2 2023/04/06 16:20
- 数学 sin/x=1の証明で、範囲を0〜1/2π、0度〜-1/2πの2つの範囲でおいてから証明してますが、 4 2022/05/10 21:57
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
CRCのアルゴリズムって、どんな...
-
組立除法 1次式 ax-k の係数...
-
1/xを積分することでなぜlogxが...
-
大学の数学の問題なのですが、 ...
-
直交多項式(ルジャンドル、エ...
-
三乗根を含んだ最小多項式
-
一般のn次既約多項式は存在する?
-
エクセルのグラフの近似曲線に...
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
Qバー={α⊂C| αがQ上代数的...
-
(1+x)^n=1+nxについて
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
n次の整数多項式の証明(帰納法...
-
超越数
-
陪微分とは何ですか?
-
e^sinXの展開式について。。。
-
エルミート補間について
-
deg f?
-
CRC方式(誤り制御方式)について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
代数
-
この中で多項式はいくつありま...
-
あってますか?
-
(中3数学)次の式を展開しなさ...
-
多項式について質問です。 エク...
-
素イデアルの判定がわからないです
-
約数と因数の違い(∈N)
-
deg f?
-
e^sinXの展開式について。。。
-
単項式と分数式の違いについて
-
(x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)の展開...
-
arcsinのマクローリン展開について
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
データのノイズ除去法 - Savitz...
-
(1+x)^n=1+nxについて
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
余次元って何?
-
塾での問題なんですが・・・至...
-
パデ近似の利点について教えて...
おすすめ情報