数Ｃです。

y=xtanθに関する対称移動の一次変換を表す行列を求める問題で,各成分をsin２θとcos２θで表せです。

なぜこの対称移動がｘ軸に関する対称移動ｆと原点のまわりの角２θの回転移動ｇとの合成変換ｇ・ｆと考えられるのですか?

求める行列の答えは,
(1,1)成分が cos２θ
(1,2)成分が sin２θ
(2,1)成分が sin２θ
(2,2)成分が -cos２θ
です。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： orcus0930 回答日時： 2009/03/09 15:02

P(cosφ,sinφ)を対称移動させるとしましょう。

Pはy=x*tanφ上にありますから、対象移動した点P'は
y=x*tan(θ+(θ-φ))=x*tan(2θ-φ)上に来ますね。

次にOP'の長さですが、これは実際に書いてみるといいと思いますが、OP'=OPになります。
なので、
(cosφ,sinφ)を(cos(2θ-φ),sin(2θ-φ))に移す行列を求めればいいわけです。
なので、まずφ→-φに移動させて、-φ→2θ-φに移動させればいいわけです。

それを言葉で書くと、
>ｘ軸に関する対称移動ｆと原点のまわりの角２θの回転移動ｇとの合成変換ｇ・ｆ
になるんです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

点Ｐを文字でおいてみるのもいいですね。
大変わかりやすかったです。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/09 16:02

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/09 15:20

　まず、ｙ＝ｘtanθに関する対称移動の一次変換が、原点Ｏを中心に－θ回転させ、ｘ軸に関して対称移動させ、原点Ｏを中心に＋θ回転させたものになることはよろしいでしょうか。

　１つの方法は、そこから行列の積で導くことができます。

　（cosθ -sinθ）（1　0）（ cosθ sinθ）
　（sinθ　cosθ）（0 -1）（-sinθ cosθ）
＝（ cos(2θ)　sin(2θ) ）
　（ sin(2θ) -cos(2θ) ）
＝（ cos(2θ) -sin(2θ) ）（1　0）
　（ sin(2θ) cos(2θ) ）（0 -1）

　これは、合成変換ｇ・ｆになっています。


　もう１つは、原点Ｏを中心とした回転移動も、ｘ軸に関しての対称移動も、原点Ｏとの距離は変わりませんので、回転角だけを考えることで導けます。
　
　点Ｐと原点Ｏを結んだ直線とｘ軸とのなす角をαとしますと、ｙ＝ｘtanθに関する対称移動で変換された点Ｐ’と原点Ｏとを結んだ直線とｘ軸とのなす角は（２θ－α）となります。
　この角度は、ｘ軸に関して対称移動させた点と原点Ｏを結んだ直線とｘ軸とのなす角　－α　に、原点を中心として　２θ　回転させたときにできる直線とのなす角度に一致します。
　このことから、ｙ＝ｘtanθに関する対称移動は、合成変換ｇ・ｆと見ることができます。

この回答へのお礼

理解出来ました。

なかなか思いつかなかったら難しいですよね。


ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

お礼日時：2009/03/09 16:08

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/03/09 15:11

>なぜこの対称移動がｘ軸に関する対称移動ｆと原点のまわりの角２θの回転移動ｇとの合成変換ｇ・ｆと考えられるのですか?

合成変換とはなっていませんよ。
質問者さんの移動操作の分解した行列による合成変換なら
>(2,1)成分が sin２θ
-sin2θ
となるはずです。

ヒント）
ちゃんと移動操作を分解して、それぞれの一次変換行列を求め、それらの積をとれば、答の行列が導出できます。
移動操作を
-θ回転→x軸対称移動→θ回転
に分解して、個々の一次変換行列を求めて、それらの行列の積を求めてみて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

でもよくわかりませんでした。
多分,自分の理解力不足なんでしょうね。

詳しく説明していただけるならありがたいです。
文面の合成変換はｇ・ｆだと考えています。

お礼日時：2009/03/09 16:06