無限級数の和の偶奇の場合分け収束・発散の問題

1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/n+1-n+1/n+2+・・・
と表される数列でこの無限級数の和の収束、発散を調べるとき、偶奇で和が違うので発散するのですが、この問題の解答では一般項をn/n+1-n+1/n+2としておらず、理解できません。解答では和をＳnとおき、Ｓ2mとＳ2m+1とおいてmを∞に近づけて求めています。
ここでＳ2m＝Ｓ2m+1-m+1/m+2としています。
どこをどう区切って一般項とみなせばいいか理解できません。
どなたか解説お願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/19 21:27

●>>　偶奇によって一般化の仕方が違うのですか？

　そうです。
　注意したほうがよいのは『＋ｎ/n+1』と『-n+1/n+2』のどちらが第ｎ項になるか、すぐにわからないところですね。最初のほうを計算するとすぐに奇数項までの和と偶数の項までの和で違うことはわかるから、最後の項が弧の二つのうちのどちらかわからない、ということところから入る。
奇数のときは計算するまでも無いので省略して答えを書いてしまったのだけど，偶数項のときと同じようにしてみると，
S1=（1/2）
　S3=1/2-2/3+（2/3）　=1/2
　　　S5=1/2-2/3+2/3-3/4+（3/4）　=1/2
（　）の項が第ｎ項なので、『最後の項』だけに注意して
＜分子＞
　ｎ＝１　のとき　１
　ｎ＝３　のとき　２
　ｎ＝５　のとき　３
　・・・・・
　これを一般化すると，
　ｎ＝２ｍ＋１のとき　
　　　分子＝n/２+1/2　　；一度このようにｎで表すといいかも知れない。
　　　　　　＝（２ｍ＋１）/２＋1/２＝（２ｍ＋２）/２
　　　　　　＝ｍ＋１
＜分母＞
　ｎ＝１　のとき　２
　ｎ＝３　のとき　３
　ｎ＝５　のとき　４
　・・・・・
　これを一般化すると，
　ｎ＝２ｍ＋１のとき　
　　　分子＝n/２+３/2　　；ｎで表す！
　　　　　　＝（２ｍ＋１）/２＋３/２＝（２ｍ＋４）/２
　　　　　　＝ｍ＋２

だからｎが奇数（＝２ｍ＋１）のときの第n項は，『ｎで表すと』，
　分子/分母＝｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝
というのが正しいのです。
　じつは+n/n+1も-n+1/n+2もどちらも第ｎ項では有りません。ただ単に『前後の関係を示しただけ』のもので『第ｎ項の一般式を与えているわけではない』のだということがわかるのです。

※　｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝と｛n/n+1｝の違いがわかりますか？
n=3としてみましょう。
　　　｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝＝｛３/２+1/2｝/｛３/２+３/2｝＝２/３
　　これは問題の式と比較したらわかるように，正しく第3項を表しています。
　ところが，
　　　n/n+1＝３/４
　　実はこれは第5項を表しています。『分子分母を2倍したために項の番号ｎと分子分母の数字との関係がずれて、第ｎ項ということを表せなくなっている』のです。
　ではｍによる表式は？ｎ＝３なので2m+1=3よりｍ＝１です。
　　+（ｍ＋１）/（ｍ＋２）＝+（１＋１）/（１＋２）＝２/３
で、正しい結果を与えています。

　ここがこの問題のヒッカケポイントなのです！！親切に一般式を書いてくれていると信じちゃだめなんですね。そこをサボらずに考えてますか？と出題者はニヤニヤしながら回答を見るんでしょうね。

●本題に戻ります。

もし、ｎが奇数のときの第ｎ項の一般式は？ときかれたら，
　｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝
これをを『ｍを使って』表すと、
　+（ｍ＋１）/（ｍ＋２）
です。

　Sn＝1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝
であり，これをｍで表すと，
　S2m+1=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+（ｍ＋１）/（ｍ＋２）
ここで，奇数項までの和は，初項を除き前後で打ち消しあうので，
　S2m＋１＝１/２
です。（ここは数列の特徴を使ったほうが思考の節約でしょう。）

　数式の微妙さを味わいましょう。こういう出題者の意図していることを見抜いては喜ぶのです！！だまされないぞ！と・・・
　偶数項も確かめてくださいね。


　　

この回答へのお礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます。
助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/19 22:42

No.7 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/19 22:34

●頭が走って説明飛ばしちゃったかな？少し変なところがある。

次のところ・・・・
『　分子/分母＝｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝
というのが正しいのです。
　じつは+n/n+1も-n+1/n+2もどちらも第ｎ項では有りません。ただ単に『前後の関係を示しただけ』のもので『第ｎ項の一般式を与えているわけではない』のだということがわかるのです。』

ここで、次のことを飛ばしています。

分子/分母＝｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝
このままだと正しいが，
これを『分子分母を2倍すると』
分子/分母＝｛n/２+1/2｝/｛n/２+３/2｝＝（ｎ＋１）/（ｎ＋３）

としてもよさそうですが，これでは，
　n=3のとき（ｎ＋１）/（ｎ＋３）＝４/６
ところが，
　1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+4/5-5/6+5/6-・・・
と比較したら、このような４/６になる項は無いんですね。
　４/６＝２/３としてやっと正しい３番目ということがでてきます。
ｎが奇数のとき，第n項は２で割り切れることを前提として
　（ｎ＋１）/（ｎ＋３）
で，≠（n/n+1），（-n+1/n+2）です。どちらでも有りません。

●念のため，偶数項のとき
　n=2mのとき、
　第n項・・・-（n/２＋１）/（ｎ/２＋２）＝-（ｎ＋２）/（ｎ＋４）
　これも，≠（n/n+1），（-n+1/n+2）です。どちらでも有りません。

No.5 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/19 19:35

●（　　）付け忘れたけど、まぁわかるよね。

念のため

これからS2ｍの最後の項は－（ｍ＋１）/（ｍ＋２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑・・・・・・↑
以下同じところ。

　　　　　　　　
S2m＝1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・－（ｍ＋１）/（ｍ＋２）
　　　＝1/2－（ｍ＋１）/（ｍ＋２）
　（何故なら1/2，－（ｍ＋１）/（ｍ＋２）以外の項は前後で打ち消しあう。）

No.4 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/19 19:27

●1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/n+1-n+1/n+2+・・・

第ｎ項で混乱しているみたいだけど・・・・
S1=1/2
　　　S2=1/2-2/3
S3=1/2-2/3+2/3=1/2
　　　S4=1/2-2/3+2/3-3/4
S5=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4=1/2
　　　S6=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5
・・・・・・・
Snでｎが奇数項のときはいいとおもうんで、・・・
ｎ=２ｍのとき，Snの最後の項を分子・分母に分けて考えると
＜分子＞
　ｎ＝２のとき　分子－２
　ｎ＝４のとき　分子－３
　n＝６のとき　分子－４
　・・・・・
　これを一般化して
　n＝２ｍのとき　分子　－（ｎ/２＋１）＝－（２ｍ/２＋１）＝－（ｍ＋１）
＜分母＞
　ｎ＝２のとき　分母　３
　ｎ＝４のとき　分母　４
　n＝６のとき　分母　５
　・・・・・
　これを一般化して
　n＝２ｍのとき　分母　ｎ/２＋２＝２ｍ/２＋２＝ｍ＋２

これからS2ｍの最後の項は－（ｍ＋１）/ｍ＋２

S2m＝1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・－（ｍ＋１）/ｍ＋２
　　　＝1/2－（ｍ＋１）/ｍ＋２
　（何故なら1/2，－（ｍ＋１）/ｍ＋２以外の項は前後で打ち消しあう。）
　　　
lim（ｍ→∞）S２ｍ＝1/2－１＝-１/2

最後の項がどうなるかがポイントなので、それを分子・分母について別々に一般式を考えてやるといいのではないのかな？
　

この回答への補足

偶奇によって一般化の仕方が違うのですか？

補足日時：2009/03/19 20:02

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/03/19 15:46

第n項は n/(n+1)-(n+1)/(n+2) 「ではありません」.

級数で「何項目」というときには, 加減算をしているそれぞれを数えていきます. ですので,
1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+…+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+…
という級数では 1項目から順に
1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4, -4/5, ...
です. これを数えて, n項目が n/(n+1)-(n+1)/(n+2) になりますか? 式はちょっと書きにくいので n の偶奇で分けるけど, 2n項は -(n+1)/(n+2), 2n+1項は (n+1)/(n+2) としないとダメです.
もし
(1/2-2/3)+(2/3-3/4)+(3/4-4/5)+…+[n/(n+1)-(n+1)/(n+2)]+…
という級数であれば, その n項目は #2 でもいわれているように, もちろん n/(n+1)-(n+1)/(n+2) です. この 2つが違うものであるということを理解してください.
「教科書に書いてあった」とありますけど, どのような文章で書かれているのかこちらで確認できないのでパス.

この回答への補足

教科書の表記を私が誤解しているだけでした。
無限級数の扱いは理解できました。
しかし、一つだけわかりません。
1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+…+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+…
は少し拡張して書くと
1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+…-n/(n+1)+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+(n+1)/(n+2)-…
と同じでしょうか？

補足日時：2009/03/19 17:56

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/03/19 12:25

＞この問題の解答では一般項をn/n+1-n+1/n+2としておらず、理解できません。

問題のどこかに一般項がn/(n+1)-(n+1)/(n+2)であるとか
書いてます？
＃分数はカッコを適切につけて誤解をまねかないようにかくこと

そもそも，一般項はn/(n+1)-(n+1)/(n+2)ではないです．
一般項を書くなら
(-1)^(n+1) n/(n+1)
です．
級数の問題でかってに和の順序を変えてはいけません．
足し算ではたしかに交換・結合法則は成り立ちますが，
級数は足し算ではありません．順番を変えることで
収束の様子が変わるものがあります
例：1-1+1-1+1-1+・・・・+1-1+・・
これを質問者のように勝手にカッコをつけてしまえば0です
しかしこれは実際には「収束しません」．
また，かりに収束する級数であっても
加算の仕方を変えることで任意の値に収束させることができる
級数が存在します（条件収束級数という）．

一般項がn/(n+1)-(n+1)/(n+2)ならば
この級数は
(1/2-2/3)+(2/3-3/4)+(3/4-4/5)+・・・+(n/(n+1)-(n+1)/(n+2))+・・・
なのです．
もし，一般項をn/(n+1)-(n+1)/(n+2)として解答を書いたならば
それは不正解です．

なお，
S2m+1 = S2m + (-1)^{2m+2}(2m+2)/(2m+3)
で収束すると仮定すれば，その収束値をSとして
極限をとれば
S=S+1
で矛盾ってことで発散です．

この回答への補足

1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+・・・
という形の与えられたとき、第ｎ項はn/(n+1)-(n+1)/(n+2)ではないのでしょうか？
これは教科書に書いていたことなのですが・・・。
第ｎ項は一般項とは違うものなのでしょうか？

補足日時：2009/03/19 13:08

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/03/19 12:12

とりあえず適切にかっこをつけてください. 「n+1/n+2」は, 通常「n + (1/n) + 2」と解釈します.

本題に入りますが, 一般項は「n/(n+1) - (n+1)/(n+2)」ではありません. そして, 「どこをどう区切って一般項とみなせばいいか理解できません」と書かれていますが, こう書くこと自体「級数を理解できていない」といわれても仕方がないでしょう.
一般論として, 級数において「勝手にかっこをつけたり外したりする」というのはご法度です. また, 「項の順序を入れ替える」ということも一般には禁止されます. 有限和ならどのようにしようとかまわないので, きちんと区別してください.
ということで, この級数の各項はあくまで 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4, -4/5, 4/5, -5/6, ... としなければなりません.
大体, 「一般項が n/(n+1) - (n+1)/(n+2) であるような級数」は収束するよね.

この回答へのお礼

仰るとおり私は級数を理解できていません。
ですから拙い質問になってしまい申し訳ございません。
貴重な時間ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/19 13:08