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1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/n+1-n+1/n+2+・・・
と表される数列でこの無限級数の和の収束、発散を調べるとき、偶奇で和が違うので発散するのですが、この問題の解答では一般項をn/n+1-n+1/n+2としておらず、理解できません。解答では和をSnとおき、S2mとS2m+1とおいてmを∞に近づけて求めています。
ここでS2m=S2m+1-m+1/m+2としています。
どこをどう区切って一般項とみなせばいいか理解できません。
どなたか解説お願いします。

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A 回答 (7件)

●>> 偶奇によって一般化の仕方が違うのですか?


 そうです。
 注意したほうがよいのは『+n/n+1』と『-n+1/n+2』のどちらが第n項になるか、すぐにわからないところですね。最初のほうを計算するとすぐに奇数項までの和と偶数の項までの和で違うことはわかるから、最後の項が弧の二つのうちのどちらかわからない、ということところから入る。
奇数のときは計算するまでも無いので省略して答えを書いてしまったのだけど,偶数項のときと同じようにしてみると,
S1=(1/2)
 S3=1/2-2/3+(2/3) =1/2
   S5=1/2-2/3+2/3-3/4+(3/4) =1/2
( )の項が第n項なので、『最後の項』だけに注意して
<分子>
 n=1 のとき 1
 n=3 のとき 2
 n=5 のとき 3
 ・・・・・
 これを一般化すると,
 n=2m+1のとき 
   分子=n/2+1/2  ;一度このようにnで表すといいかも知れない。
      =(2m+1)/2+1/2=(2m+2)/2
      =m+1
<分母>
 n=1 のとき 2
 n=3 のとき 3
 n=5 のとき 4
 ・・・・・
 これを一般化すると,
 n=2m+1のとき 
   分子=n/2+3/2  ;nで表す!
      =(2m+1)/2+3/2=(2m+4)/2
      =m+2

だからnが奇数(=2m+1)のときの第n項は,『nで表すと』,
 分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2}
というのが正しいのです。
 じつは+n/n+1も-n+1/n+2もどちらも第n項では有りません。ただ単に『前後の関係を示しただけ』のもので『第n項の一般式を与えているわけではない』のだということがわかるのです。

※ {n/2+1/2}/{n/2+3/2}と{n/n+1}の違いがわかりますか?
n=3としてみましょう。
   {n/2+1/2}/{n/2+3/2}={3/2+1/2}/{3/2+3/2}=2/3
  これは問題の式と比較したらわかるように,正しく第3項を表しています。
 ところが,
   n/n+1=3/4
  実はこれは第5項を表しています。『分子分母を2倍したために項の番号nと分子分母の数字との関係がずれて、第n項ということを表せなくなっている』のです。
 ではmによる表式は?n=3なので2m+1=3よりm=1です。
  +(m+1)/(m+2)=+(1+1)/(1+2)=2/3
で、正しい結果を与えています。

 ここがこの問題のヒッカケポイントなのです!!親切に一般式を書いてくれていると信じちゃだめなんですね。そこをサボらずに考えてますか?と出題者はニヤニヤしながら回答を見るんでしょうね。

●本題に戻ります。

もし、nが奇数のときの第n項の一般式は?ときかれたら,
 {n/2+1/2}/{n/2+3/2}
これをを『mを使って』表すと、
 +(m+1)/(m+2)
です。

 Sn=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+{n/2+1/2}/{n/2+3/2}
であり,これをmで表すと,
 S2m+1=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+(m+1)/(m+2)
ここで,奇数項までの和は,初項を除き前後で打ち消しあうので,
 S2m+1=1/2
です。(ここは数列の特徴を使ったほうが思考の節約でしょう。)

 数式の微妙さを味わいましょう。こういう出題者の意図していることを見抜いては喜ぶのです!!だまされないぞ!と・・・
 偶数項も確かめてくださいね。


  
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この回答へのお礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます。
助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/03/19 22:42

●頭が走って説明飛ばしちゃったかな?少し変なところがある。


次のところ・・・・
『 分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2}
というのが正しいのです。
 じつは+n/n+1も-n+1/n+2もどちらも第n項では有りません。ただ単に『前後の関係を示しただけ』のもので『第n項の一般式を与えているわけではない』のだということがわかるのです。』

ここで、次のことを飛ばしています。

分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2}
このままだと正しいが,
これを『分子分母を2倍すると』
分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2}=(n+1)/(n+3)

としてもよさそうですが,これでは,
 n=3のとき(n+1)/(n+3)=4/6
ところが,
 1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+4/5-5/6+5/6-・・・
と比較したら、このような4/6になる項は無いんですね。
 4/6=2/3としてやっと正しい3番目ということがでてきます。
nが奇数のとき,第n項は2で割り切れることを前提として
 (n+1)/(n+3)
で,≠(n/n+1),(-n+1/n+2)です。どちらでも有りません。

●念のため,偶数項のとき
 n=2mのとき、
 第n項・・・-(n/2+1)/(n/2+2)=-(n+2)/(n+4)
 これも,≠(n/n+1),(-n+1/n+2)です。どちらでも有りません。
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●(  )付け忘れたけど、まぁわかるよね。

念のため

これからS2mの最後の項は-(m+1)/(m+2)
                        ↑・・・・・・↑
以下同じところ。

        
S2m=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・-(m+1)/(m+2)
   =1/2-(m+1)/(m+2)
 (何故なら1/2,-(m+1)/(m+2)以外の項は前後で打ち消しあう。)
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●1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/n+1-n+1/n+2+・・・


第n項で混乱しているみたいだけど・・・・
S1=1/2
   S2=1/2-2/3
S3=1/2-2/3+2/3=1/2
   S4=1/2-2/3+2/3-3/4
S5=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4=1/2
   S6=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5
・・・・・・・
Snでnが奇数項のときはいいとおもうんで、・・・
n=2mのとき,Snの最後の項を分子・分母に分けて考えると
<分子>
 n=2のとき 分子-2
 n=4のとき 分子-3
 n=6のとき 分子-4
 ・・・・・
 これを一般化して
 n=2mのとき 分子 -(n/2+1)=-(2m/2+1)=-(m+1)
<分母>
 n=2のとき 分母 3
 n=4のとき 分母 4
 n=6のとき 分母 5
 ・・・・・
 これを一般化して
 n=2mのとき 分母 n/2+2=2m/2+2=m+2

これからS2mの最後の項は-(m+1)/m+2

S2m=1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・-(m+1)/m+2
   =1/2-(m+1)/m+2
 (何故なら1/2,-(m+1)/m+2以外の項は前後で打ち消しあう。)
   
lim(m→∞)S2m=1/2-1=-1/2

最後の項がどうなるかがポイントなので、それを分子・分母について別々に一般式を考えてやるといいのではないのかな?
 

この回答への補足

偶奇によって一般化の仕方が違うのですか?

補足日時:2009/03/19 20:02
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第n項は n/(n+1)-(n+1)/(n+2) 「ではありません」.


級数で「何項目」というときには, 加減算をしているそれぞれを数えていきます. ですので,
1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+…+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+…
という級数では 1項目から順に
1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4, -4/5, ...
です. これを数えて, n項目が n/(n+1)-(n+1)/(n+2) になりますか? 式はちょっと書きにくいので n の偶奇で分けるけど, 2n項は -(n+1)/(n+2), 2n+1項は (n+1)/(n+2) としないとダメです.
もし
(1/2-2/3)+(2/3-3/4)+(3/4-4/5)+…+[n/(n+1)-(n+1)/(n+2)]+…
という級数であれば, その n項目は #2 でもいわれているように, もちろん n/(n+1)-(n+1)/(n+2) です. この 2つが違うものであるということを理解してください.
「教科書に書いてあった」とありますけど, どのような文章で書かれているのかこちらで確認できないのでパス.

この回答への補足

教科書の表記を私が誤解しているだけでした。
無限級数の扱いは理解できました。
しかし、一つだけわかりません。
1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+…+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+…
は少し拡張して書くと
1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+…-n/(n+1)+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+(n+1)/(n+2)-…
と同じでしょうか?

補足日時:2009/03/19 17:56
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>この問題の解答では一般項をn/n+1-n+1/n+2としておらず、理解できません。



問題のどこかに一般項がn/(n+1)-(n+1)/(n+2)であるとか
書いてます?
#分数はカッコを適切につけて誤解をまねかないようにかくこと

そもそも,一般項はn/(n+1)-(n+1)/(n+2)ではないです.
一般項を書くなら
(-1)^(n+1) n/(n+1)
です.
級数の問題でかってに和の順序を変えてはいけません.
足し算ではたしかに交換・結合法則は成り立ちますが,
級数は足し算ではありません.順番を変えることで
収束の様子が変わるものがあります
例:1-1+1-1+1-1+・・・・+1-1+・・
これを質問者のように勝手にカッコをつけてしまえば0です
しかしこれは実際には「収束しません」.
また,かりに収束する級数であっても
加算の仕方を変えることで任意の値に収束させることができる
級数が存在します(条件収束級数という).

一般項がn/(n+1)-(n+1)/(n+2)ならば
この級数は
(1/2-2/3)+(2/3-3/4)+(3/4-4/5)+・・・+(n/(n+1)-(n+1)/(n+2))+・・・
なのです.
もし,一般項をn/(n+1)-(n+1)/(n+2)として解答を書いたならば
それは不正解です.

なお,
S2m+1 = S2m + (-1)^{2m+2}(2m+2)/(2m+3)
で収束すると仮定すれば,その収束値をSとして
極限をとれば
S=S+1
で矛盾ってことで発散です.

この回答への補足

1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/(n+1)-(n+1)/(n+2)+・・・
という形の与えられたとき、第n項はn/(n+1)-(n+1)/(n+2)ではないのでしょうか?
これは教科書に書いていたことなのですが・・・。
第n項は一般項とは違うものなのでしょうか?

補足日時:2009/03/19 13:08
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とりあえず適切にかっこをつけてください. 「n+1/n+2」は, 通常「n + (1/n) + 2」と解釈します.


本題に入りますが, 一般項は「n/(n+1) - (n+1)/(n+2)」ではありません. そして, 「どこをどう区切って一般項とみなせばいいか理解できません」と書かれていますが, こう書くこと自体「級数を理解できていない」といわれても仕方がないでしょう.
一般論として, 級数において「勝手にかっこをつけたり外したりする」というのはご法度です. また, 「項の順序を入れ替える」ということも一般には禁止されます. 有限和ならどのようにしようとかまわないので, きちんと区別してください.
ということで, この級数の各項はあくまで 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4, -4/5, 4/5, -5/6, ... としなければなりません.
大体, 「一般項が n/(n+1) - (n+1)/(n+2) であるような級数」は収束するよね.
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この回答へのお礼

仰るとおり私は級数を理解できていません。
ですから拙い質問になってしまい申し訳ございません。
貴重な時間ありがとうございました。

お礼日時:2009/03/19 13:08

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===
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+++++++++++++++++

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k=1

で、無限個の要素の和を表したとする。
下のような場合には、項の順序を勝手に変えてはいけない。
という意味です。

さらに、
収束の理解ですが、
S_(m)→S  (m→∞)

については、
mが大きくなれば部分和がSに近づくことを意味します。

ただし、数列の性質から部分和の表現が面倒なので
mが偶数の場合には部分和がSに近づく。
mが奇数の場合にも部分和がSに近づく。
この二つから、
mが偶数でも、奇数でもどちらの場合でもmが大きくなれば部分和がSに近づく。
したがって、mがどんな自然数でも、それが大きくなれば部分和がSに近づくことになります。
理由は、自然数には偶数と奇数しかないからです。

といっているのです。

Q数列の偶数項や奇数項などを求めるときに 一般項anのnに2nや2n−1などを代入してして求めるとある

数列の偶数項や奇数項などを求めるときに
一般項anのnに2nや2n−1などを代入してして求めるとあるのですが
代入することによってどんな操作をしているのでしょうか?

Aベストアンサー

CやAに具体的に何か入れてみないと分かりにくいですね。
A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9…)
An=n
にn=3kを代入して
Cn=A3k=3k
C=(3,6,9,12,15,18,21,24,27…)
(A3kはAから3の倍数の項のみ取り出したもの)
Cn=3k
(CnはAから3の倍数の項のみ取り出したもののn番目の項)
これは最初のAn=nとは別のものですね。

同じnを使って説明するとややこしいのでやめた方がいいと思います。
Cn=3kで
n=3kでしたが、
Cn≠nです。

An=n
Ci=A3k=3k
であれば
A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9…)
C=(3,6,9,12,15,18,21,24,27…)
と分かります。

省略してますがkは自然数です。

Q複素数平面でのベクトルの扱い方について

複素数平面の問題で複素数をベクトルで表していいんですか?
また、複素数平面の図に→OAなどと書いていいのですか?
例えば点Aを表す複素数αがあったとき、αと書かずに→OAと書いていいんですか?
また、点Aを原点中心に60度回転させるとき、α・(cos60°+isin60°)と書かず
に、→OA・(cos60°+isin60°)と書いていいのですか?
先生によって言うことがまちまちなので混乱しています。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

酸素系漂白剤と塩素系漂白剤は,それぞれ単独では役に立ちますが,
「混ぜるなキケン!!」
混ぜると毒ガスが発生して危ないのでした.

ところで,ご質問の補足
>「単独で書く場合」とはどのような場合でしょうか?
の回答ですが,許される例を挙げると,
「2点A(α),B(β)に対し,ベクトル→ABを表す複素数はβ-α(別表現:ベクトル→ABに対応する複素数はβ-α)であり,
点Aを中心に点Bを+60°回転した点をC(γ)とすると,
→ABを(点Aを中心に)+60°回転したものが→ACだから
γ-α=(β-α)(cos60°+isin60°)
より γ=・・・」
などと分離して使う場合です.(対応させて使うが混ぜない.特に "→AB=β-α(誤)" などとは決して書かないこと.)
しかし,きちんと識別して使う限り,複素数をベクトル的な見方で使っていることはしばしばあって,考えやすくて有用です.

Q次亜塩素酸など、『次~』『亜~』なんとかについての質問です。

題名の通りなのですが、次~や、亜~はどういう意味なのでしょうか。亜硫酸や、次亜塩素酸を例に是非教えてください。また、過塩素酸の過~の意味もよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 これは、酸に含まれる酸素の数です。
 標準的なものより酸素が一つ少ないと「亜」が付きます。
さらに、2つ少ない場合は、「次亜」が付きます。
逆に一つ多いと「過」が付きます。


 H2SO4 硫酸
 H2SO3 亜硫酸

 HClO3 塩素酸
 HClO  次亜塩素酸
 HClO4 過塩素酸

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです


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