因数定理について教えてください

P(x)=x^3-7x+6　を因数定理を使って因数分解せよ。

〔解〕
P(1)=0　より
P(x) は x-1 で割り切れる。
ゆえに
P(x)=(x-1)(x^2+x+6)
=(x-1)(x-2)(x+3)

と例が載っているのですが、P(1)=0 の部分がわかりません。
解説には「定数項6の約数を順番に代入する」と説明が入っているのですが何故、定数項の約数を代入していくとP(x)=0 となるxがみつかるのですか？
定数項の約数でない数を代入する必要はない、というのがなぜか分かりません。

それと、もし定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。
P(x)=0となるxを見つけるのにかなり時間がかかってしまいますよね。
これは総当り式に代入していく以外に方法はないのですか？

宜しくお願いします。

No.3 回答者： kaede_h 回答日時： 2009/05/05 14:45

着眼点は凄く良いですよ。

P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)を例に考えてみます。

まず、P(x)の定数項はいくつですか？
P(x)=(x-1)(x^2+x+6)=x^3+5x-6 と展開していけば、
-6すなわち、-1*-2*+3 になるのがわかりますよね。

つまり、P(x)において定数項は最低次の項なので、
(x-1)(x-2)(x+3)のそれぞれの最低次の項を掛けてのみ作られるという事です。

このことから逆に、定数項が6であるなら、
"それを因数分解した際の定数項は6の因数だ"とわかるはずです。

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もしこの説明がわからなければこちらを参考にしてください。

2桁×2桁の掛け算をするとき、積の1の位は、それぞれの１の位の積で、
10の位はまったく関係ありません。

12*13=156
22*23=506

と、それぞれの1の位が2と3なら、必ず積の１の位は6になります。
なので逆に、"積の1の位が6である掛け算は、
必ず因数の1の位が、約数である1・6か2・3になる!！"とわかります。
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ここまでの説明で、なぜ約数を取るのか・
約数でない数はダメなのかが分かってもらえたと思います。

後はP(x)に代入すれば、
P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)　←のどれかしらが0になるので、
P(x)=0となるわけですね。、

＞定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。
これについては、出来るだけ小さな約数から試して行きましょうとしか言えません。

ただ、計算をこなす事である程度"勘"が働くようになります。
最初のうちは計算ミスなども混じってかなりわかりにくいと思いますが、
そのうちへっちゃらになりますよ。

頑張ってください。

No.2 回答者： proto 回答日時： 2009/05/05 14:38

例えば、今回のP(x)が

　　P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)
と因数分解されるとして、右辺を展開すると
　　P(x) = x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc
右辺の定数項を元の式の定数項と比べることにより
　　-abc = 6
よって、a,b,cはどれも6の約数でなければならない。
逆に、aが6の約数でないときにP(a)=0となることはあり得ない。


後半について、
たしかに定数項が大きくなれば因数を見つけるのは大変になります。
そのために、多項式の因数分解をいくらか素早くするための「組み立て除法」という方法があります。
この方法を用いれば次数の高い式でもいくらか早く因数分解できます。
(ただし、あまり絶大な効果を期待してはいけません。
やっていることは普通に総当たりで数を代入するのと同じです。)

あとはテクニックの問題ですが、3次の多項式などなら、なるべく小さな候補数から試していき、因数が一つ見つかった時点で元の式を因数分解してしまい、残り２つの因数を見つけるのには解の公式を使う方法もあります。
2次式ならば、やはり因数定理による因数分解よりも、解の公式やたすきがけを用いた因数分解の方が早いことが多いので。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2009/05/05 14:29

因数分解は四則演算でできるものが問題になっていると思えばよいでしょう。

つまりP(x)の式で最後の6が５であれば有理数の範囲では分解できません。さて、できるとすれば、手がかりはというと、最も簡単な数からはじめるのがコツです。0はどうか。これは定数項が6故だめ、では1はどうか、－1はどうかという具合に絶対値を増やして試してみます。定数項が100や200は10×10、10×20のように10単位の数の積の場合が多いと思います。従って1次、２次の項にも１０が現れている可能性が大です。a=10として書きなおしてみると結局一桁の係数になる場合がほとんどです。問題をある程度やってみて感触をつかんでください。