![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67b6d)
「Let p be a prime and let G be the additive group (Z_p×Z_p,+).
(1) How many subgroups of order p does G have?
(2) Let x,y∈G such that x≠y. Show that there exists exactly one subgroup H≦G of order p for which x+H=y+H holds.」
((1)の証)
Z_pの位数は素数なのでZ_pは自明な部分しか持たない。
つまり,{0modp},Z_p≦Z_p.
よって, {0modp}×{0modp},{0modp}×Z_p,Z_p×{0modp},Z_p×Z_pがG=(Z_p×Z_p,+)の部分群になる。よって4つとなったのですがこれでいいでしょうか?
((2)の証)
(1)より位数がpになる部分群は{0modp}×Z_p,Z_p×{0modp}の2つ。
よってH:={0modp}×Z_pの時,x:=(amodp,bmodp) (但し,0≦a,b≦p-1)とすると,bmodp+Z_p=Z_pより
x+H={amodp}×(bmodp+Z_p)={amodp}×Z_p=={0modp+amodp}×(Z_p+b'modp)=H+(amodp,b'modp)と書ける。
H:=Z_p×{0modp}の場合についても同様である。
となったのですがこれでいいでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
G=(Z_p×Z_p,+)
(1)Gの位数pの部分群は次の p+1 個
<(1,0)>,<(1modp,ymodp)>_{1≦y≦p-1},<(0,1)>
2≦x≦p-1,1≦y≦p-1,に対して
xとpは互いに素だから1=nx-pとなる自然数nがある
1<p/(p-1)≦p/x<n≦(1+p)/x≦(1+p)/2<p
nx=p+1 だから
n(xmodp,ymodp)=(nxmodp,nymodp)=(1modp,nymodp)
(xmodp,ymodp)は(1modp,nymodp)が生成する巡回群を生成し位数が等しいから
<(xmodp,ymodp)>=<(1modp,nymodp)>
(2)x≠y∈G,x+H=y+H,|H|=p,H⊂G,となるHは<(x-y)>ただ1つとなる
x-y∈Gとするとx-y∈<x-y>だからx+<x-y>=y+<x-y>,|<x-y>|=p
x+H=y+Hとすると x-y∈H だから<x-y>⊂H,|<x-y>|=p=|H|だから<x-y>=H
例えばZ_4=Z_2×Z_2で(0mod2,1mod2)を生成元とする巡回群<(0mod2,1mod2)>は
<0mod2,1mod2>={(0mod2,1mod2),2(0mod2,1mod2)=((2*0)mod2,2mod2)=(0mod2,0mod2)}で
これはZ_2×Z_2の単位元(0mod2,0mod2)を含んでいるので
Z_p×Z_pの部分群になる。
No.2
- 回答日時:
>((1)の証)
0×0および Z_p×Z_p はどちらも
位数pの部分群(subgroup of order p)ではないので,問題外ですよね。
また,pが3以上の素数なら,(1,0)や(0,1)で生成される部分群以外に
(1,2)や(2,1)で生成される部分群もあります。
そもそも,Z_p×Z_pは単位元(0,0)以外はすべて位数pなのですから,
位数pの部分群を生成できます。
あとは同じ群を生成する重複度を考慮するだけです。
ひょっとしたら,先に(2)を考える方が構造がつかまえやすいかもしれません。
>((2)の証)
この解答は間違っているというより,何も述べていません。
ただ x=(a,b)(∈Z_p×Z_p)とおくと言っているだけです。
x≠y は x-y≠0 のことで, x+H=y+H は x-y∈H のことですから,
「Z_p×Z_p の単位元以外の任意の元は,位数pの部分群を
生成することを証明せよ」ということとほとんど同じです。
あとの細かい部分はよく考えてみてください。
ありがとうございます。
>>((1)の証)
> 0×0および Z_p×Z_p はどちらも
> 位数pの部分群(subgroup of order p)ではないので,問題外ですよね。
そうですね。それは分かります。
> また,pが3以上の素数なら,(1,0)や(0,1)で生成される部分群以外に
> (1,2)や(2,1)で生成される部分群もあります。
そうですね。巡回群も部分群になりえますね。
そうしますと,<(0,0)>,<(0,1)>,<(1,0)>,<(1,1)>(=Z_p×Z_p),…
と沢山あるのですね。
> そもそも,Z_p×Z_pは単位元(0,0)以外はすべて位数pなのですから,
> 位数pの部分群を生成できます。
> あとは同じ群を生成する重複度を考慮するだけです。
なるほど。
> ひょっとしたら,先に(2)を考える方が構造がつかまえやすいかもしれません。
Z_p×Z_pの単位元以外の任意の元(xmodp,ymodp)はp倍して初めてpで割れるので#<(xmodp,ymodp)>=pですよね。
∀(xmodp,ymodp),(x'modp,y'modp)∈{(xmodp,ymodp);0≦x,y≦p-1,もしx=yならx=y=1の時に限る,}=:Aに於いて
(xmodp,ymodp)≠(x'modp,y'modp)なら,
gcd(x,x')=1かgcd(y,y')=1なので,<(xmodp,ymodp)>≠<(x'modp,y'modp)>。
従って,Aの元が位数pの部分群になる得るのでよって,位数pの部分群の個数は#A.。
よって,p^2-(p-1)個。
これでいいのでしょうか?
>>((2)の証)
> この解答は間違っているというより,何も述べていません。
> ただ x=(a,b)(∈Z_p×Z_p)とおくと言っているだけです。
> x≠y は x-y≠0 のことで, x+H=y+H は x-y∈H のことですから,
> 「Z_p×Z_p の単位元以外の任意の元は,位数pの部分群を
> 生成することを証明せよ」ということとほとんど同じです。
> あとの細かい部分はよく考えてみてください。
これは偽ではないですかね。例えばZ_4=Z_2×Z_2で(0mod2,1mod2)を生成元とする巡回群<(0mod2,1mod2)>は
<0mod2,1mod2>={(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2)}でこれはZ_2×Z_2の単位元(0mod2,0mod2)を含んでいないのでZ_p×Z_pの部分群にはなり得ない。
勘違いしてますでしょうか?
No.1
- 回答日時:
> ((1)の証)
「…つまり~」で大事なのは「~」の方ではないの?「…」には「自明なの以外に部分群はない」とあり「~」には「自明な部分群は部分群である」とあります。「よって」の理由が分かりません。
> ((2)の証)
証明すべきことは何んですか?…問題が間違ってる?
ありがとうございます。
>> ((1)の証)
> 「…つまり~」で大事なのは「~」の方ではないの?「…」には「自明なの以外に部分群はない」
> とあり「~」には「自明な部分群は部分群である」とあります。「よって」の理由が分かりません。
えっ? {0modp}とZ_pはどちらもZ_pの自明な群ですよね?
>> ((2)の証)
> 証明すべきことは何んですか?…問題が間違ってる?
G∋∀x,yは相異なるに対して,x+H=y+Hを満たすGの部分群Hが一意的に存在する事を示せ。
という事だと思います。
さらには
「Z_p×Z_p の単位元以外の任意の元は,位数pの部分群を生成することを証明せよ」という意味かとも思います。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・「I love you」 をかっこよく翻訳してみてください
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・昔のあなたへのアドバイス
- ・かっこよく答えてください!!
- ・あなたが好きな本屋さんを教えてください
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のロ...
-
0≦x≦1において 赤く囲んだ不等...
-
質問したい事が2つあります。 ①...
-
階差数列・群数列について
-
-1≦x≦1 -1≦y≦1 を満たすとき x+...
-
内積なくても
-
高校数学の確率が得意な方おら...
-
これは、log|ex+1|とはならない...
-
中1 数学 比例式 8︰7 = x ︰ ...
-
グロタンディークが考えたトポ...
-
中一 比例式の計算の時 少数だ...
-
ある物を作るのに3%材料が必要...
-
スピノール
-
デルタ関数のラプラス変換の証...
-
フィボナッチ数列とその応用
-
111111を素因数分解すると 1111...
-
理解しがたい部分があります。...
-
円1:x²+y²=4と円2:(x-2)²+y²=1...
-
放物線(y-a)^2=4p(x-b)の接線の...
-
数学 不等式の表す領域
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
青チャート数1aの基本例題52が...
-
√の問題
-
軌跡の問題の「逆」の記述の仕方
-
数Aを教えてください…! 整数36...
-
数学の質問です。 青チャ1A例題...
-
写真の数学の質問です。 逆が成...
-
位数45の群が位数9の正規部分群...
-
大学受験、数学の問題 やさしい...
-
ランダウの記号について。
-
可換群ならば正規部分群は成り...
-
数学Aで集合の要素の個数の問...
-
代数学の問題です。
-
数学 写真はある回転体の見取り...
-
数学、青チャート2Bの質問です...
-
群論なのですが
-
例題34と35教えてください
-
対称群
-
雪江代数学1の120ページの赤線...
-
因数分解について。 こんにちは...
-
フーリエ級数の部分和
おすすめ情報