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各原子に電子が1個だけいる状態空間の中では、大きさ1/2のスピン演算子S_iと原子i上のスピンσの電子の生成・消滅演算子c_iσとの間に
1/2(c_iu^* c_iu - c_id^*c_id)=S_i^z …(1)
c_iu^* c_id = S_i^+ …(2)
c_id^* c_iu = S_i^- …(3)
(uはアップ、dはダウン,*はダガーを表しています。)
という関係式が成り立つらしいのですが、証明できません。
どなたか教えてください。
ちなみに斯波さんの「固体の電子論」で出てきました。ハバード模型の二次摂動エネルギーをスピン演算子で書き換えるという部分です。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
もっとスマートな方法があるかもしれませんが…
電子の生成消滅演算子を
c_iu^*:=u*, c_iu:=u
c_id^*:=d*, c_id:=d
とします。
電子がiサイトにいない状態: |0>
上向きスピンiサイトにいる状態: u*|0>:=|+>
下向きスピンiサイトにいる状態: d*|0>:=|->
とします。
今考えているのは、電子がiサイトに1個ある状態ですから
系の取りうる状態としては上に定義した|+>、|->。これらを
基底として(1)~(3)の演算子がどのような
行列表示を持つか見てみます。
(1)の場合:
<+|S_i^z|+>=1/2・<0|u(u*u-d*d)u*|0>=1/2
<+|S_i^z|->=1/2・<0|u(u*u-d*d)d*|0>=0
<-|S_i^z|+>=1/2・<0|d(u*u-d*d)u*|0>=0
<-|S_i^z|->=1/2・<0|d(u*u-d*d)d*|0>=-1/2
となり、S_i^zの行列表示は2×2の行列で対角成分は1/2と-1/2、
対角成分以外は0となります。これはスピン1/2のz成分の演算子
の行列表示と同じです。
(2)、(3)も同様に計算すると
S_i^+,S_i^-の行列表示ははそれぞれスピン1/2の昇降演算子の
行列表示に対応していることがわかります。
またS_i^z,S_i^+,S_i^-の交換関係を電子の生成消滅演算子の
反交換関係を使って直接計算しても、対応する角運動量の
交換関係が得られます。
詳しい解説ありがとうございます!
僕はてっきりJordan-Wigner変換のような変換から導かれるものだと思っていました。
すっきりしました!
No.3
- 回答日時:
スピン演算子をSU(2)の基本表現の生成子で表示してやると
少し手間が省けるかも?
iサイトの電子の生成消滅演算子をcα*,cαとし、
スピン変数αはup 又は downの値をとる。
以後ギリシャ文字α、β、δ、γ等はこのスピン変数をあらわす。
これらをつかってスピン演算子を
S^a:=cα*・τ^a_(αβ)・cβ
で定義する(a=x,y,z)。ここでα、βの添え字については和をとるものとし、
τ^aはパウリ行列σ^aを2で割ったもので、τ^a_(αβ)はその行列の
α行β列成分(ただし、行列成分を考えるときはup,downをそれぞれ1,2と
読み替える。)
このスピン演算子は質問のスピン演算子と同じもの。
系の取りうる状態は|α>:=cα*|0>であるのでスピン演算子の行列成分は
<α|S^a|β>=<0|cα・(cδ*・τ^a_(δγ)・cγ)・cβ*|0>
となり、生成消滅演算子の反交換関係を使うと
<α|S^a|β>=τ^a_(αβ)
とわかる。
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