数列の極限値の計算に対するしつもんです
回答よろしくおねがいします
[ ]は絶対値の意味です

「lim n →∞ nの二乗-n/nの二乗+1=1を示せ」

ε>0を与えたとき

[nの二乗-n/nの二乗+1 -1]=[-n-1/nの二乗+1]=
n+1/nの二乗+1

ここでn+1/nの二乗+1<n+n/nの二乗=2/nであるから、とつづくのですが
このn+n/nの二乗=2/nはなぜでてくるのか教えてください。


よろしくおねがいします。

A 回答 (3件)

(n+1)/(n^2+1)<(n+n)/n^2


となることがわかりますよね?
分子を大きくして、分母を小さくすると値は大きくなるのですから。
(n+1)/(n^2+1)<(n+n)/n^2 となります。つまり、(n+1)/(n^2+1)<2/n
ということです。 
いったい、これをなんで使っているかというと、
ε=(n+1)/(n^2+1)>0 であるのがわかっています。
この値を大きくしてもnが無限大に近づくときに、0に近づくということです。
これより、lim n →∞ nの二乗-n/nの二乗+1 -1=0
ということになり、
lim n →∞ nの二乗-n/nの二乗+1=1 であることが分かります。
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この回答へのお礼

おそくなりすいません、ありがとうございました!

お礼日時:2009/12/03 01:13

lim の定義に合わせようとしたんじゃないかな.


定義から
lim (n→∞) f(n) = a if 任意の ε>0 に対しある定数 N が存在して n>N であるすべての n について |f(n) - a| < ε
です. ここで, ε に対する適当な N を決めればよく, 今の場合には
(n+1)/(n^2+1) < ε
がすべての n>N に対して成り立つような N を見つければよいということになります. さて, この式から N を見つけることと
(n+1)/(n^2+1) < 2n / n^2 (= 2/n) < ε
から N を見つけることではどちらが簡単でしょうか.
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n+n/nの二乗


=2n/nの2乗
=2/n(分子分母をnで割る)
かと

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます!

その通りn+n/nの二乗
=2n/nの2乗
=2/n(分子分母をnで割る)
なのは理解できるのですが、

なぜ、計算上これがでてくるのかがわかりません

よろしくおねがいします。

補足日時:2009/05/29 14:06
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