数列の極限値

数列の極限値の計算に対するしつもんです
回答よろしくおねがいします
[　]は絶対値の意味です

「lim n →∞　nの二乗－ｎ/nの二乗＋1=1を示せ」

ε＞０を与えたとき

[nの二乗－ｎ/nの二乗＋1　－1]=[－ｎ-１/ｎの二乗＋１]=
n＋１/ｎの二乗＋１

ここでn＋１/ｎの二乗＋１＜ｎ＋ｎ/nの二乗＝２/nであるから、とつづくのですが
このｎ＋ｎ/nの二乗＝２/nはなぜでてくるのか教えてください。


よろしくおねがいします。

No.3 回答者： chchinbat 回答日時： 2009/05/29 16:12

(n+1)/(n^2+1)<(n+n)/n^2

となることがわかりますよね？
分子を大きくして、分母を小さくすると値は大きくなるのですから。
(n+1)/(n^2+1)<(n+n)/n^2　となります。つまり、(n+1)/(n^2+1)<2/n
ということです。　
いったい、これをなんで使っているかというと、
ε＝(n+1)/(n^2+1)>0 であるのがわかっています。
この値を大きくしてもｎが無限大に近づくときに、０に近づくということです。
これより、lim n →∞　nの二乗－ｎ/nの二乗＋1　－1＝０
ということになり、
lim n →∞　nの二乗－ｎ/nの二乗＋1=1　であることが分かります。

この回答へのお礼

おそくなりすいません、ありがとうございました！

お礼日時：2009/12/03 01:13

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/29 14:36

lim の定義に合わせようとしたんじゃないかな.

定義から
lim (n→∞) f(n) = a if 任意の ε>0 に対しある定数 N が存在して n>N であるすべての n について |f(n) - a| < ε
です. ここで, ε に対する適当な N を決めればよく, 今の場合には
(n+1)/(n^2+1) < ε
がすべての n>N に対して成り立つような N を見つければよいということになります. さて, この式から N を見つけることと
(n+1)/(n^2+1) < 2n / n^2 (= 2/n) < ε
から N を見つけることではどちらが簡単でしょうか.

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/29 14:03

ｎ＋ｎ/nの二乗

＝２ｎ／ｎの２乗
＝２/n（分子分母をｎで割る）
かと

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます！

その通りｎ＋ｎ/nの二乗
＝２ｎ／ｎの２乗
＝２/n（分子分母をｎで割る）
なのは理解できるのですが、

なぜ、計算上これがでてくるのかがわかりません

よろしくおねがいします。

補足日時：2009/05/29 14:06